Lösung von y''+9y=0 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 05.02.2013 | | Autor: | den1001 |
| Aufgabe | | Geben Sie die Lösung der folgenden DGL an: y''+9y=0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Lösung der DGL ist laut WolframAlpha:
[mm] y(x)=c_1*cos(3x)+c_2*sin(3x)
[/mm]
Darauf komme ich leider nicht.
Ich habe zunächst das charakteristische Polynom gelöst:
[mm] \lambda^2+9*\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 3i und [mm] \lambda_2 [/mm] = -3i
Dann sollte die Lösung doch eigtl. sein:
y(x) = [mm] c_1 [/mm] * [mm] e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * [mm] e^{\lambda_2*x}
[/mm]
= [mm] c_1 [/mm] * e^(3i*x) + [mm] c_2 [/mm] * e^(-3i*x)
= [mm] c_1 [/mm] * (cos(3x) + i * sin(3x)) + [mm] c_2 [/mm] * (cos(3x) - i * sin(3x))
Davon der Realteil ist aber:
y(x) = [mm] c_1 [/mm] * cos(3x) + [mm] c_2 [/mm] * cos(3x)
und das entspricht nicht der Lösung von WolframAlpha.
Kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Di 05.02.2013 | | Autor: | CJcom |
> Geben Sie die Lösung der folgenden DGL an: y''+9y=0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die Lösung der DGL ist laut WolframAlpha:
>
> [mm]y(x)=c_1*cos(3x)+c_2*sin(3x)[/mm]
>
> Darauf komme ich leider nicht.
>
> Ich habe zunächst das charakteristische Polynom gelöst:
>
> [mm]\lambda^2+9*\lambda=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 3i und [mm]\lambda_2[/mm] = -3i
Sicher? Du kannst auch ein [mm] \lambda [/mm] ausklammern, dann hast du:
[mm]\lambda*(\lambda+9)=0[/mm]
und dann siehst du, dass deine Lösungen nicht stimmen können. Versuch es mal mit den neuen, richtigen Werten für [mm] \lamda [/mm] und schau, ob dann das gleiche herauskommt wie bei Wolfram Alpha
>
> Dann sollte die Lösung doch eigtl. sein:
>
> y(x) = [mm]c_1[/mm] * [mm]e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]c_2[/mm] * [mm]e^{\lambda_2*x}[/mm]
>
> = [mm]c_1[/mm] * e^(3i*x) + [mm]c_2[/mm] * e^(-3i*x)
>
> = [mm]c_1[/mm] * (cos(3x) + i * sin(3x)) + [mm]c_2[/mm] * (cos(3x) - i *
> sin(3x))
>
> Davon der Realteil ist aber:
>
> y(x) = [mm]c_1[/mm] * cos(3x) + [mm]c_2[/mm] * cos(3x)
>
> und das entspricht nicht der Lösung von WolframAlpha.
>
> Kann mir da jemand helfen?
Gruß
CJcom
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Di 05.02.2013 | | Autor: | den1001 |
Gut, nun habe ich die folgenden Lösungen für das charakteristische Polynom:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -9
Aber wie komme ich von hier aus nun zu sin(x) bzw. cos(x)?Ich dachte, dass das nur bei komplexen Nullstellen des Polynoms geht.
Ich hätte jetzt als Lösung angegeben:
y(x) = [mm] c_1 [/mm] * e^(0*x) + [mm] c_2 [/mm] * e^(-9*x) = [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * e^(-9x)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Di 05.02.2013 | | Autor: | CJcom |
Sorry, dein charakteristisches Polynom sollte schon
[mm] \lamda^2+9 [/mm] = 0
heißen. Hab ich in der Eile übersehen.
Andersrum, wenn du von der Lösung von Wolfram Alpha ausgehst:
[mm] c_1*cos(3x)+c_2*sin(3x)=c_1*\bruch{1}{2}*(e^{3ix}+e^{-3ix})+c_2*\bruch{1}{2i}*(e^{3ix}-e^{-3ix})=(\bruch{1}{2}*c_1+\bruch{1}{2i}*c_2)*e^{3ix}+(\bruch{1}{2}*c_1-\bruch{1}{2i}*c_2)*e^{-3ix}.
[/mm]
Die Konstanten sind also einfach anders gewählt.
Der Imaginärteil ist bei deiner Lösung nicht zu verachten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Di 05.02.2013 | | Autor: | CJcom |
Andersherum lässt sich deine Lösung auch Umformen, dass sie so aussieht, wie die von Wolfram Alpha:
[mm] c_1*e^{3ix}+c_2*e^{-3ix}=c_1*(cos(3x)+i*sin(3x))+c_2*(cos(3x)-i*sin(3x))=(c_1+c_2)*cos(3x)+i(c_1-c_2)sin(3x)=c_3*cos(3x)+c_4*sin(3x).
[/mm]
Wobei [mm] c_3 [/mm] := [mm] c_1+c_2 [/mm] und [mm] c_4 [/mm] := [mm] i(c_1-c_2) [/mm] definiert sind ;)
Gruß
CJcom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Di 05.02.2013 | | Autor: | den1001 |
Oh mann, da wäre ich glaub ich nie drauf gekommen. Vielen Dank für die Hilfe :)
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