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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösungen bestimmen
Lösungen bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösungen bestimmen: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Mo 19.11.2012
Autor: Laura87

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichungen

a) [mm] y'(t)=y(t)^n [/mm]  für alle n [mm] \in \IN [/mm]

b) [mm] y'(t)=-\bruch{1+t}{t}y(t), [/mm] y(1)=1

Hallo,

ich habe folgendes gemacht:

a) Gesucht sind alle stetig differenzierbaren Funktionen y mit Ableitung [mm] y(t)^n. [/mm] Das sind genau die Stammfunktionen dieser Funktion

Wegen

[mm] \integral y(t)^n=\bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c [/mm]

bekommen wir als Lösung

[mm] \bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c [/mm]


b) Analog zu a) folgt

[mm] \integral -\bruch{1+t}{t}y(y) [/mm]

mit y(1)=1 folgt

[mm] \integral -\bruch{1+t}{t}=-t-log(t)+c [/mm]

Ist das alles so richtig?

Lg

        
Bezug
Lösungen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Mo 19.11.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichungen
>
> a) [mm]y'(t)=y(t)^n[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> b) [mm]y'(t)=-\bruch{1+t}{t}y(t),[/mm] y(1)=1
> Hallo,
>
> ich habe folgendes gemacht:
>
> a) Gesucht sind alle stetig differenzierbaren Funktionen y
> mit Ableitung [mm]y(t)^n.[/mm] Das sind genau die Stammfunktionen
> dieser Funktion
>
> Wegen
>
> [mm]\integral y(t)^n=\bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c[/mm]
>
> bekommen wir als Lösung
>
> [mm]\bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c[/mm]
>

Deinen Integralen fehlt etwas entscheidendes, nämlich ein Differenzial. Dieses muss dt heißen und nicht dy, dein Fehler liegt also darin, dass du nach y integriert hast. Man kann hier aber mit Trennung der Variablen leicht weiterkommen.

>
> b) Analog zu a) folgt
>
> [mm]\integral -\bruch{1+t}{t}y(y)[/mm]
>

Was soll denn y(y) sein???

> mit y(1)=1 folgt
>
> [mm]\integral -\bruch{1+t}{t}=-t-log(t)+c[/mm]
>
> Ist das alles so richtig?

Nein: es ist komplett falsch. Trenne auch bei der zwei die Variablen sauber, integriere dann beide Seiten und löse nach y auf.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lösungen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Mo 19.11.2012
Autor: Laura87

Hallo,

danke für die schnelle Antwort.

Ich habe das mit der Trennung der Variablen nicht richtig verstanden.

Wie der Name sagt, müssen wir die Variablen in f(t) und g(x) trennen, aber nach was wird getrennt?

bei a)

[mm] y'(t)=y(t)^n [/mm]

f(t)=t

[mm] g(x)=y(1)^n [/mm]

?

Bezug
                        
Bezug
Lösungen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Mo 19.11.2012
Autor: fred97

Die Dgl. [mm] y'=y^n [/mm] kannst Du so schreiben

    y'=f(t)g(y)

mit f(t)=1 und [mm] g(y)=y^n [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
Lösungen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Mo 19.11.2012
Autor: Laura87

Vielen dank!

Ich hoffe ich habs jetzt richtig verstanden:

> Die Dgl. [mm]y'=y^n[/mm] kannst Du so schreiben
>  
> y'=f(t)g(y)
>  
> mit f(t)=1 und [mm]g(y)=y^n[/mm]
>  
> FRED


d.h. ich habe zwei Integrale

[mm] \integral_{s_0}^{s}{1 dt}=\integral_{x_0}^{x}{y^n dy} [/mm]

[mm] s-s_0=\bruch{1}{1+n}x^{n+1}-\bruch{1}{1+n}x_{0}^{n+1} [/mm]

das jetzt nach x umformen und das wars?

Lg

Bezug
                                        
Bezug
Lösungen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Mo 19.11.2012
Autor: leduart

Hallo
das ist falsch ! sieh dir nochmal selbst an, wie das mit der Trennung der Variablen geht!
du kannst deine Lösung immer überprüfen, indem du sie in die Dgl einsetzt.
x hat nichts mit dem gesuchten y(t) zu tun. am Ende soll da eine funktion y(t) stehen.
Gruss leduart

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