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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der folgenden Gleichung:
arctan x = [mm] \bruch{1-x}{1+x^2} [/mm] |
Hallo,
ich möchte gerne wissen, ob mein Beweis so richtig ist.
Beweis:
Die zu zeigende Gleichung lässt sich äquivalent umformen zu:
x + [mm] arctan(x)*(1+x^2)-1 [/mm] = 0
Setze f(x) := x + [mm] arctan(x)*(1+x^2)-1, [/mm] wobei f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
Wir müssen die Nullstellen von f bestimmen.
Da x [mm] \mapsto [/mm] x , x [mm] \mapsto [/mm] arctan x , x [mm] \mapsto 1+x^2 [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] c und c konstant diff'bar sind auf [mm] \IR, [/mm] folgt mit der Summen- und Kettenregel, dass f diff'bar ist auf [mm] \IR.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig auf [mm] \IR
[/mm]
Es gelten: f(0) = -1 < 0 und f(1) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] > 0.
Mit dem Zwischenwertsatz folgt: Es existiert mind. ein a [mm] \in [/mm] [0;1] so, dass f(a) = 0, da aber f(0) = -1 und f(1) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gilt, folgt also a [mm] \in [/mm] (0;1).
Bestimme f'.
f'(x) = 1 + (arctan [mm] x)'*(1+x^2)+arctan(x)*(1+x^2)' [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{1+x^2}*(1+x^2)+arctan(x)*2x [/mm] = 2+arctan(x)*2x = 2*(1+x*arctan x)
Sei x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend auf [mm] [0;+\infty)
[/mm]
Sei x < 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend auf [mm] (-\infty;0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend auf [mm] \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a ist die einzige Lösung.
[mm] \Box
[/mm]
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Guten Abend,
soweit ich sehe, ist der Beweis korrekt.
Der Nachweis, dass f'(x)>0 ist, sollte aber
deutlicher begründet werden.
LG , Al-Chw.
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Ok, danke schön.
In meinem Beweis habe ich ausführlich hingeschrieben, warum f'(x) > 0 ist. Ich habe das nur hier abgekürzt.
Grüsse
Alexander
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