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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mi 13.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | Für welche Werte [mm] a\in\IR [/mm] besitzt folgendes System
i) genau eine Lösung, ii) keine Lösung iii) unendlich viele Lösungen ?
[mm] ax_1 +x_2+x_3 [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
[mm] x_1 +ax_2+x_3 [/mm] = a
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] ax_3 [/mm] = 1 |
Hallo zusammen!
Mit dem oben genannten Aufgabentyp komme ich noch nicht so recht klar.
Zunächst sollte man sich also veranschaulichen, wann i, ii oder iii gilt.
i) genau eine Lösung existiert, wenn man mit gauß auf ein gestaffeltes System kommt, mit dem man die Werte berechnen kann.
ii) eine Lösung exisitiert, wenn in einer Zeile ein Wert [mm] z\in\IR \not= [/mm] 0steht, und als Lösung 0 angegeben ist. zB 0 1 2 3 | 0
iii) unendlich viele Lösungen existieren, wenn eine oder mehr Zeile(n) gänzlich verschwindet(n). hier nimmt man dann für [mm] x_n [/mm] ein [mm] \lambda [/mm] an...
Ich hoffe das ist soweit richtig.
Ausgehend von diesem Wissen, würde ich daher nun das gestaffelte System berechnen. Bevor ich damit starte fällt mir natürlich noch auf, dass es sich um eine symmetrische Matrix handelt - weiß aber leider nichts damit anzufangen.
Also:
a 1 1 [mm] a^2
[/mm]
1 a 1 a
1 1 a 1
[mm] \vmat{ a & 1 & 1 & a^2 \\ 0 & \bruch{a^2+1}{a} & \bruch{a-1}{a} & 0 \\ 0 & \bruch{a-1}{a} & \bruch{a^2+1}{a} & 1-a}
[/mm]
Da es mir hier schon irgendwie merkwürdig wird, ist die Frage, wie man es eleganter lösen kann.
Vielen Dank schonmal!
Bis dahin, Flo
Habe die Frage nur hier gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mi 13.09.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> i) genau eine Lösung existiert, wenn man mit gauß auf ein
> gestaffeltes System kommt, mit dem man die Werte berechnen
> kann.
richtig - aber ein bischen unsauber ausgedrückt
>
>
> ii) eine Lösung exisitiert, wenn in einer Zeile ein Wert
> [mm]z\in\IR \not=[/mm] 0steht, und als Lösung 0 angegeben ist. zB 0
> 1 2 3 | 0
du meinst KEINE Lösung, oder?
und nein beispiel : 0 1 -1|0 hat durchaus ein lösung (wenn [mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_3$)
[/mm]
Keine lösung existiert, wenn im Variablen-teil überall eine 0 steht aber im Lösungsteil nicht, also : 000|5 oder so, denn egal wie man die Variablen [mm] x_i [/mm] wählt steht auf der linken Seite der Gleichung immer eine 0, aber rechts nicht
>
> iii) unendlich viele Lösungen existieren, wenn eine oder
> mehr Zeile(n) gänzlich verschwindet(n). hier nimmt man dann
> für [mm]x_n[/mm] ein [mm]\lambda[/mm] an...
>
ja komplette Nullzeile in der erweiterten Matrix
>
> a 1 1 [mm]a^2[/mm]
> 1 a 1 a
> 1 1 a 1
>
also ich würde erstmal die letzte und die erste Zeile vertauschen - das amcht einiges einfacher...
> Da es mir hier schon irgendwie merkwürdig wird, ist die
> Frage, wie man es eleganter lösen kann.
Du musst allerdings aufpassen : wenn du durch a teilst, gehst du schon davon aus, dass a nicht 0 ist, also musst du diesen Fall gesondert betrachten !!
Außerdem kannst du deine Zeilen noch mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren (z.B. mit a, wenn du das gesondert betrachtet hast)
Ansonsten heißt es wohl : einfach weiter machen bis zum bitteren Schluß
viele Grüße
DaMenge
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