Lösungen komplexe Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] z^{4}=2i
[/mm]
Gesucht: alle Lösungen. |
Hi!
Wie kann man denn die Lösungen finden, ohne mit der Polardarstellung zu rechnen?
Hätte jetzt so angefangen:
[mm] z^{4}-2i=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]z^{4}=2i[/mm]
> Gesucht: alle Lösungen.
> Hi!
> Wie kann man denn die Lösungen finden, ohne mit der
> Polardarstellung zu rechnen?
Warum ohne ? Damit gehts doch ganz flott.
FRED
>
> Hätte jetzt so angefangen:
>
> [mm]z^{4}-2i=0[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:08 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Valerie20 |
> > [mm]z^{4}=2i[/mm]
> > Gesucht: alle Lösungen.
> > Hi!
> > Wie kann man denn die Lösungen finden, ohne mit der
> > Polardarstellung zu rechnen?
>
> Warum ohne ? Damit gehts doch ganz flott.
Stimmt ; )
Muss ich dir recht geben.
> FRED
> >
> > Hätte jetzt so angefangen:
> >
> > [mm]z^{4}-2i=0[/mm]
>
Würde aber trotzdem gern wissen wie ich die Lösungen ohne die Polardarstellung finden kann.
Hätte als Ansatz:
[mm] (a+bi)^{4}=2i
[/mm]
Das wird aber zu kompliert, wenn ich die Klamemr auflöse und nach Realteil und Imaginärteil unterscheide.
Es muss doch ne einigermaßen simple Methode geben um die Lösungen zu finden, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Valerie!
> Das wird aber zu kompliert, wenn ich die Klamemr auflöse
> und nach Realteil und Imaginärteil unterscheide.
> Es muss doch ne einigermaßen simple Methode geben um die
> Lösungen zu finden, oder?
Jetzt solltest Du Dich aber mal entscheiden. Es gibt eine "einigermaßen simple Methode" über die Polardarstellung ... die magst Du aber nicht.
Andere Lösungswege sind dann halt weniger simpel oder weniger elegant oder gar kompliziert (führen jedoch auch zum Ziel).
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Hätte gerne eine Lösungsstrategie, mit der ich die Lösungen bekomme, ohne die Polardarstellung zu nutzen. (Auch wenn sie evtl.
> weniger simpel oder
> weniger elegant oder gar kompliziert [sind].
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Hätte gerne eine Lösungsstrategie, mit der ich die
Lösungen bekomme, ohne die Polardarstellung zu nutzen.
(Auch wenn sie evtl.
> weniger simpel oder
> weniger elegant oder gar kompliziert [sind].
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Hallo Valerie!
Die hast Du doch oben mit [mm] $(a+i*b)^4 [/mm] \ = \ 2*i$ selber genannt.
Ähnlich geht es auch so (mit ausgerechneten Wurzeltermen!):
$0 \ = \ [mm] z^4-2*i [/mm] \ = [mm] \left(z^2-\wurzel{2*i} \ \right)*\left(z^2+\wurzel{2*i} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \left(z-\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z+\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z+i*\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z-i*\wurzel[4]{2*i} \ \right)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo Valerie!
>
>
> Die hast Du doch oben mit [mm](a+i*b)^4 \ = \ 2*i[/mm] selber
> genannt.
>
>
> Ähnlich geht es auch so (mit ausgerechneten
> Wurzeltermen!):
>
> [mm]0 \ = \ z^4-2*i \ = \left(z^2-\wurzel{2*i} \ \right)*\left(z^2+\wurzel{2*i} \ \right) \ = \ \left(z-\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z+\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z+i*\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z-i*\wurzel[4]{2*i} \ \right)[/mm]
>
Meine Lösungen sind dann also:
[mm] z_{1}=-\wurzel[4]{2*i}
[/mm]
[mm] z_{2}=\wurzel[4]{2*i}
[/mm]
[mm] z_{3}=i*\wurzel[4]{2*i}
[/mm]
[mm] z_{4}=-i*\wurzel[4]{2*i}
[/mm]
Hierbei hattest du ausgenutzt, dass:
[mm] z^{4}-2i=(z^{2})^{2}-\wurzel{2i}^{2} [/mm] (usw.) ist, oder? Die dritte binomische Formel.
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Hallo Valerie20,
> > Hallo Valerie!
> >
> >
> > Die hast Du doch oben mit [mm](a+i*b)^4 \ = \ 2*i[/mm] selber
> > genannt.
> >
> >
> > Ähnlich geht es auch so (mit ausgerechneten
> > Wurzeltermen!):
> >
> > [mm]0 \ = \ z^4-2*i \ = \left(z^2-\wurzel{2*i} \ \right)*\left(z^2+\wurzel{2*i} \ \right) \ = \ \left(z-\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z+\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z+i*\wurzel[4]{2*i} \ \right)*\left(z-i*\wurzel[4]{2*i} \ \right)[/mm]
>
> >
>
> Meine Lösungen sind dann also:
> [mm]z_{1}=-\wurzel[4]{2*i}[/mm]
> [mm]z_{2}=\wurzel[4]{2*i}[/mm]
> [mm]z_{3}=i*\wurzel[4]{2*i}[/mm]
> [mm]z_{4}=-i*\wurzel[4]{2*i}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Naja, aber diese Zahlen sind ja noch nicht so aussagekräftig, stelle es mal dar in der Form [mm]x+iy[/mm], was ist zB. [mm]\sqrt{2i}[/mm] oder [mm]\sqrt[4]{2i}[/mm] ?
>
> Hierbei hattest du ausgenutzt, dass:
>
> [mm]z^{4}-2i=(z^{2})^{2}-\wurzel{2i}^{2}[/mm] (usw.) ist, oder? Die
> dritte binomische Formel.
Ja, so ist es
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hi Schachuzipus!
>
> Naja, aber diese Zahlen sind ja noch nicht so
> aussagekräftig, stelle es mal dar in der Form [mm]x+iy[/mm], was
> ist zB. [mm]\sqrt{2i}[/mm] oder [mm]\sqrt[4]{2i}[/mm] ?
Nun hätte ich das auf die Polarkoordinaten zurückgeführt.
Also:
[mm] \wurzel{2i} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] (e^{i\bruch{\pi}{2}})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] (e^{i\bruch{\pi}{4}})
[/mm]
Dann wieder zurückverwandelt über: [mm] z=r(cos(\alpha)+i*sin(\alpha))
[/mm]
Also:
z= [mm] \wurzel{2}*(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
z= [mm] \wurzel{2}*(\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2})
[/mm]
z=1+i
Ebenso für [mm] \wurzel[4]{2}
[/mm]
Ergebniss:
[mm] \wurzel[4]{2} [/mm] * (0,92+i*0,38)
Wäre nun natürlich interessant für mich, wie man das ohne die Umwandlung in Polarkoordinaten schaffen kann?
gruß
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Hallo Valerie20,
> Hi Schachuzipus!
>
> >
> > Naja, aber diese Zahlen sind ja noch nicht so
> > aussagekräftig, stelle es mal dar in der Form [mm]x+iy[/mm], was
> > ist zB. [mm]\sqrt{2i}[/mm] oder [mm]\sqrt[4]{2i}[/mm] ?
>
> Nun hätte ich das auf die Polarkoordinaten
> zurückgeführt.
> Also:
>
> [mm]\wurzel{2i}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm] *
> [mm](e^{i\bruch{\pi}{2}})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{2}[/mm] * [mm](e^{i\bruch{\pi}{4}})[/mm]
Die Wurzel aus einer komplexen Zahl hat 2 Lösungen:
[mm]z_{1}=\wurzel{2} *e^{i\bruch{\pi}{4}}[/mm]
[mm]z_{2}=\wurzel{2} *e^{i\left(\bruch{\pi}{4}+\bruch{2*\pi}{2}\right)}[/mm]
>
> Dann wieder zurückverwandelt über:
> [mm]z=r(cos(\alpha)+i*sin(\alpha))[/mm]
> Also:
>
> z= [mm]\wurzel{2}*(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}))[/mm]
>
> z=
> [mm]\wurzel{2}*(\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2})[/mm]
>
> z=1+i
>
> Ebenso für [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
>
> Ergebniss:
>
> [mm]\wurzel[4]{2}[/mm] * (0,92+i*0,38)
>
> Wäre nun natürlich interessant für mich, wie man das
> ohne die Umwandlung in Polarkoordinaten schaffen kann?
Um die Wurzel einer komplexen Zahl zu berechen,
machst Du den Ansatz
[mm]\left(a+b*i\right)^2=2*i, \ a,b \in \IR[/mm]
Diese ausmultipliziert und getrennt
nach Real- und Imaginärteil liefert zwei Gleichungen.
Bei der Lösung dieses Gleichungssystems
ist zu beachten, daß [mm]a,b \in \IR[/mm] sein müssen.
>
> gruß
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower!
>
> Um die Wurzel einer komplexen Zahl zu berechen,
> machst Du den Ansatz
>
> [mm]\left(a+b*i\right)^2=2*i, \ a,b \in \IR[/mm]
>
> Diese ausmultipliziert und getrennt
> nach Real- und Imaginärteil liefert zwei Gleichungen.
>
> Bei der Lösung dieses Gleichungssystems
> ist zu beachten, daß [mm]a,b \in \IR[/mm] sein müssen.
>
Ok, das heißt:
(a + [mm] b*i)^{2}=2i
[/mm]
[mm] a^{2}+2abi-b^{2}=2i
[/mm]
[mm] RE(z)=a^{2}-b^{2}
[/mm]
IM(z)=2abi
I : [mm] a^{2}-b^{2}=0
[/mm]
II: 2abi=2i
aus I: a=b
In II : [mm] 2b^{2}i=2i
[/mm]
[mm] b^{2}=1
[/mm]
b=1
[mm] \Rightarrow [/mm] a=1
[mm] \Rightarrow \wurzel{2i} [/mm] = 1+i
Für die [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] gilt dann also:
[mm] (a+bi)^{4} [/mm] = [mm] a^{4}+4(a^{3})bi-6(a^{2})(b^{2})-4ab^{3}i+b^{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] I : [mm] a^{4}-6a^{2}b^{2}+b^{4}=0
[/mm]
II: [mm] 2a^{3}b-2ab^{3}=1
[/mm]
= [mm] 2ab(a^{2}-b^{2})
[/mm]
Richtig soweit, oder?
Jetzt müsste ich diese tollen Gleichungen noch irgendwie lösen.
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Hallo Valerie20,
> Hallo MathePower!
> >
> > Um die Wurzel einer komplexen Zahl zu berechen,
> > machst Du den Ansatz
> >
> > [mm]\left(a+b*i\right)^2=2*i, \ a,b \in \IR[/mm]
> >
> > Diese ausmultipliziert und getrennt
> > nach Real- und Imaginärteil liefert zwei Gleichungen.
> >
> > Bei der Lösung dieses Gleichungssystems
> > ist zu beachten, daß [mm]a,b \in \IR[/mm] sein müssen.
> >
> Ok, das heißt:
>
> (a + [mm]b*i)^{2}=2i[/mm]
> [mm]a^{2}+2abi-b^{2}=2i[/mm]
>
> [mm]RE(z)=a^{2}-b^{2}[/mm]
> IM(z)=2abi
>
> I : [mm]a^{2}-b^{2}=0[/mm]
> II: 2abi=2i
>
> aus I: a=b
> In II : [mm]2b^{2}i=2i[/mm]
> [mm]b^{2}=1[/mm]
> b=1
Hier gibt es noch eine Lösung: b=-1.
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=1
> [mm]\Rightarrow \wurzel{2i}[/mm] = 1+i
Daher ist die 2. Lösung: [mm]\wurzel{2i} = -1-i[/mm]
>
> Für die [mm]\wurzel[4]{2}[/mm] gilt dann also:
>
> [mm](a+bi)^{4}[/mm] =
> [mm]a^{4}+4(a^{3})bi-6(a^{2})(b^{2})-4ab^{3}i+b^{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] I : [mm]a^{4}-6a^{2}b^{2}+b^{4}=0[/mm]
> II: [mm]2a^{3}b-2ab^{3}=1[/mm]
> = [mm]2ab(a^{2}-b^{2})[/mm]
>
> Richtig soweit, oder?
> Jetzt müsste ich diese tollen Gleichungen noch irgendwie
> lösen.
Zweckmäßigerweise verwendest Du die oben erhaltenen Lösungen.
Dann hast Du die Lösungen aus den 2 Gleichungssystemen
[mm]\left(a+b*i\right)^{2}=1+i[/mm]
und
[mm]\left(a+b*i\right)^{2}=-1-i[/mm]
zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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Hi!
>
> Zweckmäßigerweise verwendest Du die oben erhaltenen
> Lösungen.
>
> Dann hast Du die Lösungen aus den 2 Gleichungssystemen
>
> [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=1+i[/mm]
>
> und
>
> [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=-1-i[/mm]
>
> zu bestimmen.
Gute Idee, nur bekomme ich dann:
I : [mm] a^{2}-b^{2}=1
[/mm]
II : 2abi=i
[mm] \Rightarrow a=\bruch{1}{2b}
[/mm]
in I: [mm] \bruch{1}{4b^{2}}-b^{2}=1
[/mm]
für die erste heraus.
Wie löst man denn die Gleichung auf? Hab jetzt mit dem Taschenrechner ~b=0,201
[mm] \Rightarrow [/mm] ~ a=2,488
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Hallo Valerie20,
> Hi!
> >
> > Zweckmäßigerweise verwendest Du die oben erhaltenen
> > Lösungen.
> >
> > Dann hast Du die Lösungen aus den 2 Gleichungssystemen
> >
> > [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=1+i[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=-1-i[/mm]
> >
> > zu bestimmen.
>
> Gute Idee, nur bekomme ich dann:
> I : [mm]a^{2}-b^{2}=1[/mm]
> II : 2abi=i
>
> [mm]\Rightarrow a=\bruch{1}{2b}[/mm]
>
> in I: [mm]\bruch{1}{4b^{2}}-b^{2}=1[/mm]
>
> für die erste heraus.
> Wie löst man denn die Gleichung auf? Hab jetzt mit dem
> Taschenrechner ~b=0,201
> [mm]\Rightarrow[/mm] ~ a=2,488
>
Multipliziere die neue Gleichung zunächst mit [mm]b^{2}[/mm] durch,
dann erhältst Du eine biquadratische Gleichung, die Du
mit Hilfe einer Substitution auf eine quadratische Gleichung
zurückführen kannst.
Gruss
MathePower
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Ok.
Dann erhalte ich:
[mm] -b^{4}-b^{2}+\bruch{1}{4}
[/mm]
Substitution: [mm] z=b^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -z^{2}-z+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] z_{1}= \bruch{-1-\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] z_{2}= \bruch{-1+\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Resubstitution:
[mm] b=\wurzel{z}
[/mm]
[mm] b_{1}= \wurzel{\bruch{-1-\wurzel{2}}{2}}
[/mm]
[mm] b_{2}= \wurzel{\bruch{-1+\wurzel{2}}{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{1}= \bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{-1-\wurzel{2}}{2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{2}= \bruch{1}{2* \wurzel{\bruch{-1+\wurzel{2}}{2}}}
[/mm]
Lösung:
[mm] z_{1}=0,46-0,46i
[/mm]
[mm] z_{2}=1,10+1,10i
[/mm]
Ist das alles soweit korrekt?
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Hallo Valerie20,
> Ok.
>
> Dann erhalte ich:
>
> [mm]-b^{4}-b^{2}+\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Substitution: [mm]z=b^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -z^{2}-z+\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]z_{1}= \bruch{-1-\wurzel{2}}{2}[/mm]
> [mm]z_{2}= \bruch{-1+\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> Resubstitution:
>
> [mm]b=\wurzel{z}[/mm]
>
> [mm]b_{1}= \wurzel{\bruch{-1-\wurzel{2}}{2}}[/mm]
> [mm]b_{2}= \wurzel{\bruch{-1+\wurzel{2}}{2}}[/mm]
Nur [mm]b_{2}[/mm] kommt in Frage, da dies reell ist.
Daneben kommt auch das Negative von [mm]b_{2}[/mm] in Frage.
>
> [mm]\Rightarrow a_{1}= \bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{-1-\wurzel{2}}{2}}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{2}= \bruch{1}{2* \wurzel{\bruch{-1+\wurzel{2}}{2}}}[/mm]
>
> Lösung:
>
> [mm]z_{1}=0,46-0,46i[/mm]
> [mm]z_{2}=1,10+1,10i[/mm]
>
> Ist das alles soweit korrekt?
>
[mm]z_{2}[/mm] ist die relevante Lösung.
Von dieser stimmt jedoch nur der Realteil.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Stimmt ;)
Wenn ich den Realteil von der einen mit dem Imaginärteil der anderen Lösung vertausche passt es.
Vielen Dank für die Hilfe.
gruß
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