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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 So 11.11.2007 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
a) [mm] z^{127} [/mm] = 67
b) (z + [mm] 1)(z^2 [/mm] + [mm] 1)(z^4 [/mm] + 1) = 0 |
Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand weiterhelfen. Finde keinen Ansatz diese Art von Gleichungen anzugehen. Muss ich da die Einheitswurzeln berechnen?
Gruss Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob!
Für Aufgabe a.) sieh mal hier ...
Bei der 2. Aufgabe mal weitestgehend faktorisieren und das Prinzip des Nullproduktes anwenden. Nach diesem ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn mind. einer der Faktoren gleich Null ist.
$$(z + [mm] 1)*(z^2+1)*(z^4+ [/mm] 1) \ = \ 0$$
$$(z + [mm] 1)*[z^2-(-1)]*[z^4-(-1)] [/mm] \ = \ 0$$
$$(z + [mm] 1)*[z^2-i^2]*[z^4-i^2] [/mm] \ = \ 0$$
$$(z + [mm] 1)*(z+i)*(z-1)*(z^2-i)*(z^2+i) [/mm] \ = \ 0$$
usw.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 11.11.2007 | | Autor: | jboss |
Guten Abend Loddar,
vielen Danke für deine Antwort. Hätte nicht gedacht, dass zu dieser Uhrzeit noch jemand im Forum unterwegs ist. Aufgabe a) habe ich verstanden. Hast mir sehr geholfen 
Allerdings ist mir noch schleicherhaft, wie ich die Faktorisierung fortführe *confused*
Kann es sein, dass dir da in der vierten Zeile ein Fehler unterlaufen ist?
$(z + [mm] 1)*(z^2+i)*(z-1)*(z^2-i)*(z^2+i) [/mm] \ = \ 0$
Müsste es nicht folgendermaßen aussehen?
$(z + [mm] 1)*$[green]$(z+i)*(z-i)$[/green]$*(z^2-i)*(z^2+i) [/mm] \ = \ 0$
Gruss Jakob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob!
Du hast Recht - da hat sich das kleine Tippfehlerteufelchen eingeschlichen. In der obigen Antwort ist es bereits korrigiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 So 11.11.2007 | | Autor: | jboss |
Könntest du mir ein letztes Mal weiterhelfen Loddar? Ich komm nicht drauf, wie ich [mm] $(z^2 [/mm] - i)$ und [mm] $(z^2 [/mm] + 1)$ weiter faktorisieren kann :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob!
Dahinter steckt doch lediglich wiederum die 3. binomische Formel:
[mm] $$z^2-i [/mm] \ = \ [mm] \left(z-\wurzel{i} \ \right)*\left(z+\wurzel{i} \ \right)$$
[/mm]
[mm] $$z^2+i [/mm] \ = \ [mm] z^2-(-i) [/mm] \ = \ [mm] \left(z-\wurzel{-i} \ \right)*\left(z+\wurzel{-i} \ \right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 So 11.11.2007 | | Autor: | jboss |
Vielen Dank Loddar! Da hätte ich jetzt aber wirklich selber drauf kommen müssen
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