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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen x [mm] \in \IZ [/mm] der Kongruenz
8x [mm] \equiv [/mm] 10 mod 17 |
Uns wird als Lösung 14 + [mm] 17*\IZ [/mm] angegeben, woran ich nicht ganz glaube. Kann man nicht einfach sagen:
x [mm] \equiv [/mm] 5/4 mod 17, also auf beiden Seiten durch 8 geteilt.
Demnach ist x 5/4 mit beliebig oft 17 dazuaddiert, oder?
Mathematisch gesagt: x = 5/4 + 17 * [mm] \IZ.
[/mm]
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> Bestimmen Sie alle Lösungen x [mm]\in \IZ[/mm] der Kongruenz
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> 8x [mm]\equiv[/mm] 10 mod 17
> Uns wird als Lösung 14 + [mm]17*\IZ[/mm] angegeben, woran ich
> nicht ganz glaube. Kann man nicht einfach sagen:
>
> x [mm]\equiv[/mm] 5/4 mod 17, also auf beiden Seiten durch 8
> geteilt.
>
> Demnach ist x 5/4 mit beliebig oft 17 dazuaddiert, oder?
> Mathematisch gesagt: x = 5/4 + 17 * [mm]\IZ.[/mm]
Hallo,
was meinst Du mit 1/4 ?
Bedenke, daß Du gerade in den Restklassen modulo 17 lebst...
Gruß v. Angela
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5/4 war 10/8 gekürzt. Ist diese Überlegung gänzlich falsch oder muss ich mit der 5/4 etwas machen, um zur 14 zu kommen?
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Hall G-Hoernle,
> 5/4 war 10/8 gekürzt. Ist diese Überlegung gänzlich
> falsch oder muss ich mit der 5/4 etwas machen, um zur 14 zu
> kommen?
Nein, die Überlegung ist leider falsch.
Ziel ist es doch, aus
[mm]8x \equiv 10 \ \left(\operatorname{17}\right)[/mm]
durch Multiplikiation mit einer ganzen Zahl k zu erreichen,
daß [mm]k*8 \equiv 1 \ \left(\operatorname{17}\right)[/mm].
Dies erreichst Du, wenn Du das multiplikativ Inverse von 8
bezüglich dieser Restklasse berechnest.
Dazu bedienst Du Dich des ![[]](/images/popup.gif) erweiterten euklidischen Algorithmus
Gruss
MathePower
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Das multiplikative Inverse davon ist -2. Jetzt verstehe ich leider gar nicht mehr, wofür ich die -2 brauche und was mit meiner 10 passiert ist :)
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Hallo nochmal,
> Das multiplikative Inverse davon ist -2. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Jetzt verstehe ich
> leider gar nicht mehr, wofür ich die -2 brauche und was
> mit meiner 10 passiert ist :)
Damit in die Kongruenz:
[mm]8x \ \equiv 10 \ \operatorname{mod}(17)[/mm]
[mm]\Rightarrow x \ \equiv \ 8^{-1}\cdot{}10 \ \equiv \ (-2)\cdot{}10 \ = \ -20 \ \equiv \ 14 \ \operatorname{mod}(17)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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auf gut Deutsch rechne ich also zuerst die Zahl aus, mit der sich ein Rest von 1 ergibt und multipliziere diese mit dem gesuchten Rest?
Die Lösung ist dann, wie mir angegeben wurde x = 14 + 17 * [mm] \IZ??
[/mm]
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Hallo,
> auf gut Deutsch rechne ich also zuerst die Zahl aus, mit
> der sich ein Rest von 1 ergibt und multipliziere diese mit
> dem gesuchten Rest?
Ja. Hintergrund ist, dass sich durch Multiplikation mit dem inversen Element der Vorfaktor (in diesem fall 8) auf der linken Seite aufhebt.
>
> Die Lösung ist dann, wie mir angegeben wurde x = 14 + 17 *
> [mm]\IZ??[/mm]
So ist es.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Mo 14.03.2011 | | Autor: | G-Hoernle |
> Ja. Hintergrund ist, dass sich durch Multiplikation mit
> dem inversen Element der Vorfaktor (in diesem fall 8) auf
> der linken Seite aufhebt.
Danke, jetzt hat es klick gemacht :)
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Wie verhält es sich jetzt, wenn ich eine Aufgabe der Form
[mm] x^2 \equiv [/mm] 4 mod 8 ?
Schätze, da kann ich dieses Verfahren nicht mehr anwenden ...
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> Wie verhält es sich jetzt, wenn ich eine Aufgabe der Form
>
> [mm]x^2 \equiv[/mm] 4 mod 8 ?
>
> Schätze, da kann ich dieses Verfahren nicht mehr anwenden ...
Soweit ich weiß nicht. Es handelt sich um eine Aufgabe zu quadratischen Resten und ist wieder "eine Wissenschaft für sich". Schau mal hier
Noch eine Bemerkung: Quadratzahlen haben nur die Reste 0,1,4 mod 8
Gruß
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Hallo,
> 5/4 war 10/8 gekürzt. Ist diese Überlegung gänzlich
> falsch oder muss ich mit der 5/4 etwas machen, um zur 14 zu
> kommen?
Naja, wegen [mm]\operatorname{ggT}(8,17)=1[/mm] kannst du schon die lineare Kongruenz reduzieren zu
[mm]4x \ \equiv \ 5 \ \operatorname{mod}(17)[/mm]
Dann brauchst du trotzdem das multiplikativ Inverse zu [mm]4[/mm] in [mm]\IZ_{17}[/mm]
Und das kannst du, wie MP gesagt hat, mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmen.
Welche Kongruenz du letztendlich löst, ist egal!
Gruß
schachuzipus
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