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| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der folgenden aussagenlogischen Ausdrücke Tautologien sind.
a) [mm] (((p1\to [/mm] p2) [mm] \to [/mm] p3) [mm] \vee [/mm] ((p1 [mm] \to [/mm] p2) [mm] \to [/mm] ¬p3)),
b) ((p1 [mm] \wedge [/mm] p2) [mm] \vee [/mm] p3),
c) ((p1 p2) [mm] \gdw [/mm] (¬p2 [mm] \gdw [/mm] ¬p3)),
d) [mm] (¬((p1\vee [/mm] p2) [mm] \to [/mm] p3) [mm] \vee [/mm] p3).
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ich habe dies per Wahrheitstafeln probiert zu lösen , doch komme ich somit darauf das keines davon eine Tautologie ist und das kanns ja im grunde nicht sein.Ich würde mich sehr über andere Lösungsansätze/Lösungen freuen
Mfg Gorchfock
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie, welche der folgenden aussagenlogischen
> Ausdrücke Tautologien sind.
> a) [mm](((p1\to[/mm] p2) [mm]\to[/mm] p3) [mm]\vee[/mm] ((p1 [mm]\to[/mm] p2) [mm]\to[/mm] ¬p3)),
> b) ((p1 [mm]\wedge[/mm] p2) [mm]\vee[/mm] p3),
> c) ((p1 p2) [mm]\gdw[/mm] (¬p2 [mm]\gdw[/mm] ¬p3)),
> d) [mm](¬((p1\vee[/mm] p2) [mm]\to[/mm] p3) [mm]\vee[/mm] p3).
Hallo!
Überprüfe deine Tabellen nochmal und denk dran: Aus falschem kann folgen, was will, es ist immer wahr. Meine Idee wäre ja gewesen, nicht eine Wahrheitstabelle aufzustellen (was natürlich auch geht), sondern die Aussage nach gültigen Regeln umzuformen.
Ich mach das mal mit der ersten:
[mm](((p1\Rightarrow p2) \Rightarrow p3) \vee ((p1 \Rightarrow p2) \Rightarrow ¬p3))[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (Wegen [mm] $p1\Rightarrow [/mm] p2 [mm] \gdw (¬p1\vee [/mm] p2) )$
[mm](((¬p1\vee p2) \Rightarrow p3) \vee ((¬p1\vee p2) \Rightarrow ¬p3))[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (Wie oben)
[mm]((¬(¬p1\vee p2) \vee p3) \vee (¬(¬p1\vee p2) \vee ¬p3))[/mm]
So und nun kann man diesen Term umformen (De Morgansche Regel: [mm] ¬(a\vee [/mm] b) [mm] \gdw [/mm] (¬a) [mm] \wedge [/mm] (¬b))
[mm]((p1\wedge ¬p2) \vee p3) \vee ((p1\wege ¬p2) \vee ¬p3)[/mm]
Und die Klammern zwischen den oders kann man jetzt weglassen:
[mm](p1\wedge ¬p2) \vee p3 \vee (p1\wege ¬p2) \vee ¬p3[/mm]
Und nun sieht man schon: Da steht u.A. drin: p3 [mm] \vee [/mm] ¬p3 - und das ist immer wahr, also ist es eine Tautologie und völlig unabhängig davon, wie man p1 oder p2 wählt. Kann man sich auch schon an der Anfangsform in der Aufgabenstellung sehen:
Wenn [mm] (p1\Rightarrow [/mm] p2) falsch ist, stimmt die Aussage vor dem Oder sowieso für jedes p3
Wenn [mm] (p1\Rightarrow [/mm] p2) wahr ist, stimmt entweder die erste Aussage für den Fall dass auch p3 wahr, oder die zweite wenn p3 falsch und somit ¬p3 wahr.
Versuche das bei den anderen auch nochmal zu überprüfen.
Stefan.
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