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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösungsansatz
Lösungsansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösungsansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Mi 26.11.2008
Autor: JMW

Aufgabe
Berechnen Sie die allgemeine reele Lösungen folgender Differentialgleichung: y''(x)+y'(x)-2y(x)+x²=0

Ich bin so vorgegangen, das ich erst den homogenen Teil errechnet habe.
Nullstellen aus der characteristischen Gleichung sind: 1 und -2.
Darraus gibt sich die Allgemeine Lösung für den homogenen Teil:
[mm] y=C1*e^{x}+C2*e^{-2x} [/mm]

Dann brauch ich einen Lösungsansatz für den partikulären Teil -x²
(Hab x² auf die andere Seite gebracht: y''(x)+y'(x)-2y(x)=-x²)

In meinen Mathebuch ist leider keine Lösungsansatz für diese Störfunktion angegeben. Der verwandeste Lösungsansatz wäre wohl der für Polynomfunktionen. Also yp=ax²

Ich habe mal damit gerechnet.
yp'= 2ax
yp''=2

Eingesetzt in die inhomogene Differentialgleichung bekomme ich dann einmal für a 0,5 und die anderen Ergebnisse für a ergeben keinen Sinn.

homogene Lösung und partikulare Lösung addiert ergibt:

[mm] y=C1*e^{x}+C2*e^{2x}+0,5x² [/mm]

Das ist wohl nicht richtig oder? Ich glaube mein Ansatz mit der partikulären Lösung ist falsch. Danke schonmal..

        
Bezug
Lösungsansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mi 26.11.2008
Autor: fred97


> Berechnen Sie die allgemeine reele Lösungen folgender
> Differentialgleichung: y''(x)+y'(x)-2y(x)+x²=0
>  Ich bin so vorgegangen, das ich erst den homogenen Teil
> errechnet habe.
>  Nullstellen aus der characteristischen Gleichung sind: 1
> und -2.
>  Darraus gibt sich die Allgemeine Lösung für den homogenen
> Teil:
>  [mm]y=C1*e^{x}+C2*e^{-2x}[/mm]
>  
> Dann brauch ich einen Lösungsansatz für den partikulären
> Teil -x²
> (Hab x² auf die andere Seite gebracht:
> y''(x)+y'(x)-2y(x)=-x²)
>  
> In meinen Mathebuch ist leider keine Lösungsansatz für
> diese Störfunktion angegeben. Der verwandeste Lösungsansatz
> wäre wohl der für Polynomfunktionen. Also yp=ax²
>
> Ich habe mal damit gerechnet.
>  yp'= 2ax
>  yp''=2

Hoppla : yp''=2a




>  
> Eingesetzt in die inhomogene Differentialgleichung bekomme
> ich dann einmal für a 0,5 und die anderen Ergebnisse für a
> ergeben keinen Sinn.
>  
> homogene Lösung und partikulare Lösung addiert ergibt:
>  
> [mm]y=C1*e^{x}+C2*e^{2x}+0,5x²[/mm]
>  
> Das ist wohl nicht richtig oder? Ich glaube mein Ansatz mit
> der partikulären Lösung ist falsch. Danke schonmal..



So ist es .

Mache den Ansatz: [mm] y_p(x) [/mm] = [mm] a+bx+cx^2 [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Lösungsansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Fr 28.11.2008
Autor: JMW

Wollte nur noch danke sagen! Hat so geklappt!!

Bezug
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