matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenLösungsansatz zu Dgl-Systeme
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösungsansatz zu Dgl-Systeme
Lösungsansatz zu Dgl-Systeme < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lösungsansatz zu Dgl-Systeme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Mi 23.07.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
ich habe eine frage zur folgenden Lösungsansatz.



Zur konkreten Lösung der Differentialgleichung y'=Ay, A [mm] \in \IR^{2x2} [/mm] unterscheidet man vier Fälle:

Fall 1: A hat komplexe Eigenwerte [mm] \lambda_{1/2}=\alpha+-i*\beta, [/mm] sei [mm] v=u+iw\in \IC^2 [/mm] Eigenvektor zu [mm] \lambda_1= \alpha+i\beta [/mm]

Dann kann man als unabhängige Basislösungen

[mm] y_1(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*u-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*w [/mm] und

[mm] y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*w-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*u [/mm]

nehmen, damit ist [mm] y=c_1*y_1+c_2+Y_" [/mm] für [mm] c_1; c_2 \in \IR [/mm] die allgemeine Lösung.


Was sind u und w bei den Basislösungen? ich verstehe das nicht ganz mit " sei [mm] v=u+iw\in \IC^2 [/mm] Eigenvektor zu [mm] \lambda_1= \alpha+i\beta" [/mm]

ich bitte um erklärung


die frage steht oben

        
Bezug
Lösungsansatz zu Dgl-Systeme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Mi 23.07.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> ich habe eine frage zur folgenden Lösungsansatz.
>
>
>
> Zur konkreten Lösung der Differentialgleichung y'=Ay, A
> [mm]\in \IR^{2x2}[/mm] unterscheidet man vier Fälle:
>  
> Fall 1: A hat komplexe Eigenwerte
> [mm]\lambda_{1/2}=\alpha+-i*\beta,[/mm] sei [mm]v=u+iw\in \IC^2[/mm]
> Eigenvektor zu [mm]\lambda_1= \alpha+i\beta[/mm]
>  
> Dann kann man als unabhängige Basislösungen
>  
> [mm]y_1(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*u-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*w[/mm]
> und
>  
> [mm]y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*w-e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*u[/mm]
>  


Hier muss es doch so lauten:

[mm]y_2(t)=e^{\alpha*t}cos(\beta*t)*w\blue{+}e^{\alpha*t}sin(\beta*t)*u[/mm]


> nehmen, damit ist [mm]y=c_1*y_1+c_2+Y_"[/mm] für [mm]c_1; c_2 \in \IR[/mm]
> die allgemeine Lösung.
>  
>
> Was sind u und w bei den Basislösungen? ich verstehe das
> nicht ganz mit " sei [mm]v=u+iw\in \IC^2[/mm] Eigenvektor zu
> [mm]\lambda_1= \alpha+i\beta"[/mm]

>


[mm]u+i*w, \ u,w \in \IR[/mm] ist der Eigenvektor
zum Eigenwert [mm]\alpha+i*\beta, \ \alpha.\beta \in \IR[/mm]  

Somit erfüllt der Eigenvektor die Gleichung

[mm]A\left(u+i*w\right)=\left(\alpha+i*\beta\right)*\left(u+i*w\right)[/mm]


> ich bitte um erklärung
>  
> die frage steht oben


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Lösungsansatz zu Dgl-Systeme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Do 24.07.2014
Autor: fred97

Sei $v [mm] \in \IC^2$ [/mm] ein Eigenvektor vgon $A$ zum Eigenwert [mm] \lambda_1. [/mm]

Zerlege $v$ komponentenweise in Real- und Imaginärteil:

     $ v=u+iw$  mit $u [mm] \in \IR^2$ [/mm] und  $w [mm] \in \IR^2$ [/mm] .

FRED



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]