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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Differentialgleichung
[mm] y^{||}-\bruch{x+2}{x}y^{|}+\bruch{y}{x}=0
[/mm]
Welche der folgenden Funktionspaare bilden ein Fundamentalsystem dieser Gleichung?
(a) [mm] y_{1}(x)=e^{x}(x-2), y_{2}(x)=3x+6.
[/mm]
(b) [mm] y_{1}(x)=e^{x}(x-2), y_{2}(x)=x-3.
[/mm]
(c) [mm] y_{1}(x)=e^{x}(x-2), y_{2}(x)=4+2x-2e^{x}+xe^{x}. [/mm] |
Hallo Matheraum,
um diese Aufgabe zu lösen, berechne ich zunächst die jeweiligen Wronski- Determinanten. Diese sind jedoch alle [mm] \not=0. [/mm] Somit sind alle Paare linear unabhängig.
Fraglich ist jedoch, ob sie auch Lösungen der Differentialgleichung sind. Um das herauszufinden, würde ich nun wie folgt vorgehen: (*)
1.) Jeweils y(x) durch [mm] y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x) [/mm] erhalten.
2.) Jeweils y(x) zweimal differenzieren
3.) Die entsprechenden Ableitungen jeweils in die Differentialgleichung
einsetzen und vereinfachen.
Meine Fragen:
(1) Stimmt mein Vorgehen ab (*)?
(2) Wenn ja, gibt es noch eine schnellere Methode, dies zu überprüfen?
(3) Wenn nein, wie kann ich nun überprüfen, welche der drei
Funktionenpaare tatsächlich Lösungen der Differentialgleichung sind?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mo 16.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Dein vorgehen ist richtig.
dass sie lin unabh. sind sieht man eigentlich direkt, auch ohne wronski.
Einsetzen und ueberpruefen ist sicher das schnellste, es sei denn du "siehst" direkt eine Fundamentalloesung, also loest die Dgl selbst.
Allerdings, sobald du eine Loesung hast, musst du die anderen nicht mehr ueberpruefen.
da y1 fuer alle gleich ist, also nur y2 ueberpruefen. wenn eine stimmt, zeigen, dass die anderen lin unabh. davon sind.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Okay, vielen Dank.
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