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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^4 [/mm] seien die Vektoren [mm] \vec{v_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3}, \vec{v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] gegeben.
Man bestimme ein Gleichungssystem, dessen Lösungsgesamtheit [mm] \IR v_{1} [/mm] + [mm] \IR v_{2} [/mm] + [mm] \IR v_{3} [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dem Wort "Lösungsgesamtheit", ich weiß nicht genau was ich herausbekommen soll.
Stimmt die Vorgehensweise:
Mit den 3 Vektoren ein LGS aufstellen und mit Gauß umformen, so dass ich nur noch 3 Zeilen stehen habe
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
... aber dann?
Ich weiß dass [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \IR [/mm] sein müssen, aber irgendwie hängts bei mir grad.
Danke schon mal
Gruß
Katrin
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> Im [mm]\IR^4[/mm] seien die Vektoren [mm]\vec{v_{1}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vec{v_{2}}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3}, \vec{v_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
> gegeben.
> Man bestimme ein Gleichungssystem, dessen
> Lösungsgesamtheit [mm]\IR v_{1}[/mm] + [mm]\IR v_{2}[/mm] + [mm]\IR v_{3}[/mm] ist.
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit dem Wort "Lösungsgesamtheit", ich
> weiß nicht genau was ich herausbekommen soll.
Hallo,
"Lösungsmenge" ist damit gemeint.
Du sollst ein Gleichungssystem angeben, dessen Lösungsmenge [mm]\IR v_{1}[/mm] + [mm]\IR v_{2}[/mm] + [mm]\IR v_{3}[/mm] ist.
Oder anders ausgedrückt: ein Gleichungssystem, dessen Lösungsraum aufgespannt wird von [mm] v_1, v_2, v_3. [/mm]
>
> Stimmt die Vorgehensweise:
> Mit den 3 Vektoren ein LGS aufstellen und mit Gauß
> umformen, so dass ich nur noch 3 Zeilen stehen habe
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> ... aber
> dann?
> Ich weiß dass [mm]x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \IR[/mm] sein müssen,
> aber irgendwie hängts bei mir grad.
[mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] sollen sicher Deine Variablen sein.
Du brauchst eine mehr davon, denn Deine Lösungsektoren sollen ja die Gestalt [mm]\lambda_1v_{1}[/mm] + [mm]\lambda_2 v_{2}[/mm] + [mm]\lambda_3 v_{3}[/mm] haben.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man vorgehen kann.
Die Vorgehensweise des folgenden Vorschlages kennt man zumindest ansatzweise aus der Schule, wenn nämlich die Parameterdarstellung einer Ebene in die Koordinatenform umgewandelt wird:
Sei [mm] \vektor{x_\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] eine Lösung des gesuchten Gleichungssystems.
Dann ist
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=[/mm] [mm]\lambda_1v_{1}[/mm] + [mm]\lambda_2 v_{2}[/mm] + [mm]\lambda_3 v_{3}[/mm].
Das liefert Dir ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen.
Eliminiere nun die [mm] \lambda_i.
[/mm]
Übrig behältst Du am Ende eine Gleichung, die nur noch [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_4 [/mm] enthält und kein [mm] \lambda_i [/mm] mehr.
Überzeuge Dich davon, daß [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] die Gleichung lösen, dann weißt Du, daß Du richtig gerechnet hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Do 08.01.2009 | | Autor: | dupline |
Vielen Dank, Angela.
Du hast mir wieder einmal geholfen !
Viele Grüße
Katrin
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