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| Aufgabe | [mm] ln(|x|)e^{x^{3}} (x^{2}-4) [/mm] = 0
Bestimmen sie die Lösungsmenge. |
Da ln nur für positive Werte definiert ist, kann ich das Betragszeichen einfach wegfallen lassen, aber wie müsste ich dann weiter vereinfachen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Fr 06.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo strawberryjaim!
> [mm]ln(|x|)e^{x^{3}} (x^{2}-4)[/mm] = 0
> Bestimmen sie die Lösungsmenge.
Okay.
> Da ln nur für positive Werte definiert ist, kann ich das
> Betragszeichen einfach wegfallen lassen,
Nein. In diesem Fall ist [mm] \ln(|x|) [/mm] für alle [mm] x\in\IR\setminus\{0\} [/mm] definiert!
> aber wie müsste ich dann weiter vereinfachen?
Gar nicht.
Tipp: Ein Produkt wird Null, falls einer der Faktoren null wird.
Gruß
DieAcht
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Also müsste ich eine Fallunterscheidung durchführen wegen des Betrages? Oder wie sollte ich vorgehen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Fr 06.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
1) Die Funktion
[mm] f(x):=\ln(|x|)e^{x^{3}}(x^{2}-4)
[/mm]
besitzt den Definitionsbereich [mm] D_f:=\IR\setminus\{0\}.
[/mm]
2) Ein Produkt wird Null, falls einer der Faktoren null wird!
[mm] \ln(|x|)\overset{!}{=}0,
[/mm]
[mm] e^{x^{3}}\overset{!}{=}0,
[/mm]
[mm] (x^2-4)\overset{!}{=}0.
[/mm]
> Also müsste ich eine Fallunterscheidung durchführen wegen
> des Betrages? Oder wie sollte ich vorgehen?
Eigentlich solltest du die Nullstelle des Logarithmus wissen,
aber natürlich kannst du es auch stur ausrechnen:
[mm] $\ln(|x|)=0\quad\Rightarrow\quad e^{\ln(|x|)}=e^0\quad\Rightarrow\quad [/mm] |x|=1$.
Was sind also die Nullstellen des ersten Faktors?
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Okay, also ln(x) wird für x=1 null. Muss ich dann noch die Nullstellen für die anderen Faktoren berechnen?
Danke :)
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Hallo strawberryjaim!
> Okay, also ln(x) wird für x=1 null.
Das stimmt allgemien. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber für diese Aufgabe nur bedingt. Denn dort steht ja [mm] $\ln\left( \ \red{|}x\red{|} \ \right)$ [/mm] .
Hier gibt es also 2 Lösungen.
Zumal es Dir oben doch schon fast vorgerechnet wurde.
> Muss ich dann noch die Nullstellen für die anderen Faktoren berechnen?
Ja.
Gruß vom
Roadrunner
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Nicht unbedingt unkonzentriert, manchmal steh ich einfach auf dem Schlauch :(
Okay, aufgrund des Betrages auch x=-1...
Aber wie berechne ich die Nullstelle von [mm] e^{x^{3}}? [/mm] Normalerweise wird die e Funktion ja nie Null..
Vielen vielen Dank übrigens :)
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Hallo!
> Okay, aufgrund des Betrages auch x=-1...
> Aber wie berechne ich die Nullstelle von [mm]e^{x^{3}}?[/mm]
> Normalerweise wird die e Funktion ja nie Null..
Richtig erkannt. Dann liefert dieser Term keine weitere Lösung.
Gruß vom
Roadrunner
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