Lösungsmenge < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mi 31.10.2007 | | Autor: | pinki187 |
| Aufgabe | x - 3y + 2z = 8
3x + 2y + z = 3 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wie bestimme ich die Lösungsmenge?
Wir sollen die Lösungsmenge bestimmen, doch ich weiss ehrlich gesgat nicht mehr, wie ich die Lösungsmenge bestimmen soll. Wir haben vorher immer nur Lösen von Linearen Gleichungssystemen gemacht, ich hab grade Null Ahnung. Brauche also Hilfe bei der Lösungsmenge.
|
|
| |
|
Hi, pinki,
> x - 3y + 2z = 8
> 3x + 2y + z = 3
>
> Wie bestimme ich die Lösungsmenge?
>
> Wir sollen die Lösungsmenge bestimmen, doch ich weiss
> ehrlich gesgat nicht mehr, wie ich die Lösungsmenge
> bestimmen soll. Wir haben vorher immer nur Lösen von
> Linearen Gleichungssystemen gemacht, ich hab grade Null
> Ahnung. Brauche also Hilfe bei der Lösungsmenge.
Ganz allgemein handelt es sich hierbei
a) um ein "unterbestimmtes" LGS,
denn Du hast mehr Variable (3) als Gleichungen (2).
b) Anschaulich lautet das Problem:
Ermittle die Schnittgerade der beiden Ebenen ...
Demnach ist klar, dass die Lösungsmenge unendlich groß sein wird und Du einen Parameter benötigst.
Vorschlag: Setze z = [mm] \lambda
[/mm]
und bestimme (auf üblichem Weg) x und y in Abhängigkeit von [mm] \lambda.
[/mm]
Probier's und gib' uns Deine Lösung mal an.
Ggf. helfen wir Dir weiter!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mi 31.10.2007 | | Autor: | pinki187 |
[mm] \lambda [/mm] Was ist denn mit diesem Zeichen gemeint. und wie meinst du das denn genau?
|
|
|
| |
|
Hallo pinki187,
> [mm]\lambda[/mm] Was ist denn mit diesem Zeichen gemeint.
Ach, das ist bloß der griechische Buchstabe [mm]\lambda[/mm]. Der Übersicht halber hat Zwerglein die Variable [mm]z[/mm] hervorheben wollen, weil wir aus ihr unsere Lösungsmenge konstruieren wollen.
> und wie
> meinst du das denn genau?
Bringe [mm]z[/mm] ... ähh ... ich meine [mm]\lambda[/mm]  auf die rechte Seite des LGS und behandle es wie eine "weitere Zahl". Dann hättest du ein LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen, welches du z.B. über den Gauss-Algorithmus oder in diesem speziellen Falle noch besser über Determinanten lösen könntest.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 31.10.2007 | | Autor: | pinki187 |
daraus würde ja dann folgen :
x - 3 y = 8 - 2z
und 3x +2y = 3 - z
Wie gehe ich dann vor?
Muss ich in diesem Falle die 8 und die 3 mit auf die linke Seite bringen?
Und was sind Determinanten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Rene |
Mit dem [mm]\lambda[/mm] war gemeint, das du [mm]z=\lambda[/mm] als eine konstante Zahl ansehen sollst. Du hast dann nur noch eine LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.
Das heisst jetzt löst du das LGS soweit, das du ne Gleichung [mm]x(\lambda)[/mm] und eine [mm]y(\lambda)[/mm] hast. Quasi ne Lösung für y und Lösung für x aber halt in Abhängigkeit von [mm]z[/mm] bzw. [mm]\lambda[/mm].
Die Lösungsmenge setzt sich dann aus einer speziellen Lösung [mm]x_0[/mm] und dem Nullraum [mm]\mathcal{N}(LGS)[/mm] zusammen. Also
[mm] x=x_0+\mathcal{N}(LGS)[/mm] x ist hier ein Lösungsvektor mit [mm]x=(x,y,z)[/mm]
Die Spezielle Lösung bekommst du für ein bestimmtes [mm]\lambda[/mm] bzw. [mm]z[/mm], z.B. [mm]\lambda=z=0[/mm].
Der Nullraum ist die Menge alles (x,y,z) die die Gleichung zu Null lösen. Also Das LGS
[mm]x-3y+2z=0[/mm]
[mm]3x+2y+z=0[/mm]
Die Lösungs dazu wird dann allgemein mit einem parameter z.B. [mm] \lambda [/mm] angegeben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 31.10.2007 | | Autor: | pinki187 |
Ich versteh das nicht ganz.
Ich soll mir sozusagen z als eine Zahl vorstellen.
Okay. Aber wie ist das mit der abhängigkeit gemeint?
Könntet ihr mir Schritt für Schritt erklären? Ich versteh das mit dem Nullraum auch nicht so genau :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Rene |
Mit der Abhängigkeit ist das so gemient. Löse erstmal dein LGS für x und y
I. [mm]x-3y+2z=8[/mm]
II. [mm]3x+2y+z=3[/mm]
3*I-II:[mm] -11y+5z=21[/mm]
Daraus folgt [mm]y(z)[/mm]
[mm]y(z)=y=\frac{5}{11}z-\frac{21}{11}[/mm]
Jetzt y in II einsetzen
[mm]3x+\frac{10}{11}z-\frac{42}{11}+z=3[/mm]
Daraus folgt [mm]x(z)[/mm]
[mm]x(z)=x=-\frac{7}{11}z+\frac{25}{11}[/mm]
für ein bestimmtes [mm]z[/mm], der einfachheit halber nehmen wir [mm]z=0[/mm] ergibt sich die Lösung
[mm]x=\frac{25}{11}, y=-\frac{21}{11}, z=0[/mm]
Der Nullraum sind nun alle vektoren x, die das LGS
[mm]x-3y+2z=0[/mm]
[mm]3x+2y+z=0[/mm]
lösen.
3*I-II: [mm]-11y+5z=0[/mm]
y ist somit
[mm]y(z)=y=\frac{5}{11}z[/mm]
Jetzt wieder y in II einsetzen
[mm]3x+\frac{10}{11}z+z=0[/mm]
[mm]x(z)=-\frac{7}{11}[/mm]
Jetzt hast setz du [mm]z=\lambda,\lambda\in\IR[/mm] als beliebigen Wert.
Als allgemeine Lösung erhäst du dann
[mm]x=-\frac{7}{11}\lambda, y=\frac{5}{11}\lambda, z=\lambda[/mm] mit [mm] \lambda\in\IR[/mm]
Die Lösungsmenge ergibt sich nun aus spezielle Lösung und allgemeiner Lösung des Nullraums.
also
[mm] x=\biggr\{\vektor{\frac{25}{11}\\-\frac{21}{11}\\0}+\lambda\vektor{-\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}\\1}, \lambda\in\IR \biggr\}
[/mm]
einfacher geht die Ganze Sache natürlch mit dem Gauss-Algorithmus.
Denke das sollte dir Helfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Do 01.11.2007 | | Autor: | pinki187 |
Kann jem. das noch mit Gauss-Algorithmus mir vorrechnen?:/
das hier war schon sehr hilfreich jedoch kann ich diesem nicht ganz folgen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Do 01.11.2007 | | Autor: | Rene |
Habt ihr schon Matrizen Rechnung gemacht, wenn nicht, wird dir der Gauss Algorithmus nicht viel bringen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Do 01.11.2007 | | Autor: | pinki187 |
Ja haben wir
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch geschrieben, dass ihrLineare Gleichungssysteme gelöst habt.
Warum machst dus hier nicht einfach?
Du kannst z, Bsp, erstmal z=1,234 setzen aber immer die Rechnungen stehen lassen: also etwa 2*1,234 stehen lassen statt es auszurechnen zu 2,468.
Wenn du das kannst, schriebst du am Schluss wieder überall wo 1,234 steht z hin.
dann hast du genau gemacht, was dir hier geraten wird. z ist irgend ne Zahl.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Do 01.11.2007 | | Autor: | pinki187 |
Woher hast du denn die Zahl für Z?
Ich hab auch schon überlegt die Gleochung zu lösen, aber es irritiert mich, weil es auf einmal nur noch 2 Gleichungen gibnt. und ich dann nicht genau weiss wie ich vorgehen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Do 01.11.2007 | | Autor: | Rene |
Da das system unterbestimmt ist, wird hier z eine freie variable, da kannst du wählen was du willst, da für z=0 der term für z entfällt ist das am sinnvollsten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Do 01.11.2007 | | Autor: | pinki187 |
wie müsste ich denn also anfangen?
Muss ich dann also x,y,z und so genauso bestimmen wie bei einer Linearen gleichung??!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, nur dass du z nicht bestimmst, sondern wie eine Zahl behandlst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | pinki187 |
Muss ich das immer bei der Lösungsmenge machen? UNd woher weiss ich das es genau z ist und nicht x oder y?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 01.11.2007 | | Autor: | Rene |
Muss nicht sein!
Du kannst auch x als "konstant" bzw. y als "konstant" ansehen und dann die anderen zwei in abhängigkeit angeben, also
x frei bzw. fest: y(x) und z(x) bilden
y frei bzw. fest: x(y) und z(y) bilden
funktioniert genauso.
Wenn du das halt in Matrizen schreibst und dann Gauss machst, hörst du bei z auf, deshalb wurde hier z genommen, du kannst aber wie schon gesagt auch x oder y als "konstant" ansehen.
|
|
|
|
