Lösungsmenge - Wurzelausdruck < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mi 27.11.2013 | | Autor: | tysal13 |
| Aufgabe | | Aufgabe: [mm] \wurzel{x^{3}\*(\wurzel[3]{x})} [/mm] = 32 |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Problem mit o.g. Aufgabe.
Grundsätzlich ist mir der Lösungsweg inkl. Umformung bis zu:
[mm] ((x^{1/3})^{5} [/mm] = 32 klar.
In der Musterlösung ist das Ergebnis: x = +/- 8
Ich würde, wenn es denn möglich wäre, gerne wissen, woher die -8 kommt. Anhand o.g. Umformung wäre für mich als Ergebnis nur 8 einleuchtent.
( Wurzel 5 -> x = 2 -> hoch 3 -> x = 8)
Ich wäre sehr dankbar, falls mir jmd., die -8 erklären könnte.
Vielen Dank.
N.B. sorry für ggfs. unsaubere Schreibweise, allerdings wr es das erste mal ;)
Crosspost:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo tysal,
> Aufgabe: [mm]\wurzel{x^{3}\*(\wurzel[3]{x})}[/mm] = 32
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe ein kleines Problem mit o.g. Aufgabe.
> Grundsätzlich ist mir der Lösungsweg inkl. Umformung bis
> zu:
>
> [mm](x^{1/3})^{5}[/mm] = 32 klar.
Mir nicht: Lautet die ursprüngliche Aufgabe vielleicht
[mm] ${(x^{2})}^{5/6}=32\,$?
[/mm]
>
> In der Musterlösung ist das Ergebnis: x = +/- 8
>
> Ich würde, wenn es denn möglich wäre, gerne wissen,
> woher die -8 kommt. Anhand o.g. Umformung wäre für mich
> als Ergebnis nur 8 einleuchtent.
> ( Wurzel 5 -> x = 2
Dann wäre sicher [mm] $x^{1/3}=2\,,$ [/mm] nicht [mm] $x=2\,.$ [/mm] Außerdem meinst Du sicher 5e-Wurzel
[mm] ($\sqrt[5]{\;}$), [/mm] nicht Wurzel 5 [mm] ($\sqrt{5}$).
[/mm]
> -> hoch 3 -> x = 8)
Das ist übrigens alles ein wenig Definitionssache: Ich kenne es so, dass
man [mm] $\sqrt[n]{x}$ [/mm] - für $n [mm] \in \IN$ [/mm] - überhaupt nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ definiert (im reellen).
Wenn ihr schon komplexe Zahlen hättet, so würde das Symbol [mm] $\sqrt[n]{x}$ [/mm] nur
für die "Lösungsmenge" der Gleichung [mm] $z^n=x$ [/mm] in der komplexen Zahl [mm] $z\,$ [/mm] stehen.
Und leider gibt es nun mal so manchen Autor/Lehrer/Mathematiker, der
die Symbolik nicht immer erklärt, obwohl es nicht immer klar ist, was man
damit meint bzw. alleine schon, weil es unterschiedliche Definitionen gibt,
man das eigentlich immer dazusagen müßte.
Ich "wette" drauf, dass man bei Euch sagt:
[mm] $\sqrt[n]{r}$ [/mm] ist die eindeutig bestimmte Zahl $x [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $x^n=r\,,$ [/mm] wenn $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm]
Jetzt ist natürlich klar: Wenn $r < [mm] 0\,$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] gerade ist, dann macht das Symbol
[mm] $\sqrt[n]{r}$ [/mm] "keinen Sinn" (in [mm] $\IR$), [/mm] denn es gibt dann keine Zahl $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x^n=r [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
(Wegen [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist stets [mm] $x^n \ge 0\,.$)
[/mm]
Anders sieht es aus, wenn $n [mm] \in \IN$ [/mm] ungerade und $r < [mm] 0\,$ [/mm] ist: Dann ist
[mm] $x=-\;\sqrt[n]{|r|}$
[/mm]
die eindeutig bestimmte Lösung mit [mm] $x^n=r$ [/mm] (wegen [mm] $r=-|r|\,$). [/mm] Hier muss man
aber aufpassen, wie das mit den Rechenregeln ist, wenn man sowas auch
zuläßt:
So kann bspw.
[mm] $\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[2]{x^3}$
[/mm]
nicht mehr geschrieben werden - die linke Seite ist etwa für [mm] $x=1\,$ [/mm] definiert:
[mm] $\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{(-1)^2}=\sqrt[3]{1}=1\,,$
[/mm]
die rechte nicht:
[mm] $\sqrt[2]{x^3}=\sqrt[2]{-1}=\sqrt{-1}=\text{ ???}\,.$
[/mm]
Daher sollten wir es hier auch tunlichst unterlassen, sowas wie
[mm] $\sqrt[n]{ \sqrt[\ell]{x} }=x^{\frac{1}{n}*\frac{1}{\ell}}$
[/mm]
(Bemerkung: Hat irgendein Mod eine Idee, wieso sich die linke Seite nicht mehr
anzeigen läßt, wenn man [mm] $\ell$ [/mm] durch [mm] $m\,$ [/mm] ersetzt?)
zu schreiben, sofern wir denn nicht etwa wissen, dass $x [mm] \ge [/mm] 0$ sein soll.
(Wir sollten das deswegen tunlichst unterlassen, weil wir sonst halt so rechnen,
wie wir es bei den Rechenregeln mit Brüchen kennen - und da gilt nunmal,
dass die Multiplikation kommutativ ist: [mm] $(1/n)*(1/\ell)=(1/\ell)*(1/n)\,.$)
[/mm]
Jetzt schauen wir uns mal
[mm] $({x^2})^{5/6}=32$
[/mm]
an:
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ darfst Du "rechnen wie gewohnt" und bekommst dann
[mm] $x^{5/3}=32$ $\iff$ $x^{1/3}=2$ $\iff$ $x=8\,.$
[/mm]
Für $x < [mm] 0\,$ [/mm] rechnest Du am besten aber so, dass Du [mm] $z=x^2$ [/mm] substituierst, denn
in [mm] $z\,$ [/mm] darfst Du dann, wegen $z [mm] \ge 0\,,$ [/mm] so rechnen wie gewohnt (daher
machst Du am Besten die folgende Rechnung eh "allgemein", also ohne
Fallunterscheidung in $x [mm] \ge [/mm] 0$ oder $x < [mm] 0\,$):
[/mm]
[mm] ${(x^2)}^{5/6}=32$ $\iff$ $z^{1/6}=2$ $\iff$ $z=2^6=64\,.$
[/mm]
Jetzt [mm] $z=x^2$ [/mm] resubstituieren, und dann siehst Du, dass für $x < [mm] 0\,$
[/mm]
[mm] $x^2=64$
[/mm]
die einzige Lösung [mm] $x=-8\,$ [/mm] hat.
Wie gesagt: Du kannst natürlich auch direkt sagen, dass Du [mm] $z=x^2$ [/mm] substituierst,
und dass in diesem Fall die zu lösende Gleichung in
[mm] $x^2=64$
[/mm]
übergeht, welche in $x [mm] \in \IR$ [/mm] zu lösen ist und bekommst dann direkt
[mm] $x_{1,2}=\pm 8\,.$
[/mm]
> Ich wäre sehr dankbar, falls mir jmd., die -8 erklären
> könnte.
>
> Vielen Dank.
Gerne. Bei weiteren Fragen: Weiter fragen. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 27.11.2013 | | Autor: | tysal13 |
Hallo Marcel,
zunächst vielen Dank für diese wunderbare Ausarbeitung;
allerdings hätte ich hierzu noch ein paar fragen, weil ich nicht 100% alle Inhalte richtig verstehe, probiere ich noch einmal kurz zusammenzufassen.
1. einen Artikel über komplexe Zahlen habe ich mir bereits durchgelesen und weitgehend verstanden. allerdings glaube ich, dass die Lösungsmenge [mm] \in \IR [/mm] sein soll)
2. Falls die Lösungsmenge wie oben definiert ist, muss ich dann die Fallunterscheidung, d.h. entsprechend deiner Ausführung für x>0 und x<0 treffen?
3. Die Substitution leuchtet ein, aber wie kann es sein, dass bei meiner Anwendung der Wurzel/Potenzgesetzte eine andere Lösung herauskommt?
Meine Vorstellung war wie folgt:
[mm] x^{10/6} [/mm] = 32 [mm] \gdw x^{5/3} [/mm] = 32 [mm] \gdw (x^{1/3})^{5}= [/mm] 32
[mm] \Rightarrow x^{1/3} [/mm] = [mm] \wurzel[5]{32} [/mm]
Dafür ist für mich per Definition besagt, dass der Ausdruck in der [mm] \wurzel[5] [/mm] nicht negativ werden kann, wodurch keine Betragsstreiche verwendet werden müssen.
Im nächsten Schritt würde dann:
[mm] x^{1/3} [/mm] = 2 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] 2^{3} [/mm] = 8 herauskommen.
Dein Lösungsweg mit der Substitution ist mir absolut klar, finde diesen sogar besser, jedoch kann ich nicht nachvollziehen, warum meine Lösungsweg nicht gewählt werden kann, bzw. an welcher Stelle die Betragsstriche hier verwendet werden müssten, wodurch eine -8 gerechtfertigt würde.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mi 27.11.2013 | | Autor: | CJcom |
Hallo tysal,
> Hallo Marcel,
>
> zunächst vielen Dank für diese wunderbare Ausarbeitung;
> allerdings hätte ich hierzu noch ein paar fragen, weil
> ich nicht 100% alle Inhalte richtig verstehe, probiere ich
> noch einmal kurz zusammenzufassen.
>
> 1. einen Artikel über komplexe Zahlen habe ich mir bereits
> durchgelesen und weitgehend verstanden. allerdings glaube
> ich, dass die Lösungsmenge [mm]\in \IR[/mm] sein soll)
>
> 2. Falls die Lösungsmenge wie oben definiert ist, muss ich
> dann die Fallunterscheidung, d.h. entsprechend deiner
> Ausführung für x>0 und x<0 treffen?
>
> 3. Die Substitution leuchtet ein, aber wie kann es sein,
> dass bei meiner Anwendung der Wurzel/Potenzgesetzte eine
> andere Lösung herauskommt?
> Meine Vorstellung war wie folgt:
>
> [mm]x^{10/6}[/mm] = 32 [mm]\gdw x^{5/3}[/mm] = 32 [mm]\gdw (x^{1/3})^{5}=[/mm] 32
>
> [mm]\Rightarrow x^{1/3}[/mm] = [mm]\wurzel[5]{32}[/mm]
>
> Dafür ist für mich per Definition besagt, dass der
> Ausdruck in der [mm]\wurzel[5][/mm] nicht negativ werden kann,
> wodurch keine Betragsstreiche verwendet werden müssen.
Wieso sollte dieser Ausdruck nicht negativ sein können? Mal abgesehen von komplexen Zahlen etc. Bleiben wir mal bei den reellen.
Stell dir vor, du hast die Aufgabe:
[mm] x^3=-8.
[/mm]
Nach deiner "Definition" gäbe es dafür keine Lösung.
Allerdings ist x=-2 hier echt ne Lösung, da
[mm] (-2)^3=-8.
[/mm]
Man kann festhalten, dass bei ungeraden Potenzen durchaus negative Lösungen auftreten können.
>
> Im nächsten Schritt würde dann:
>
> [mm]x^{1/3}[/mm] = 2 [mm]\gdw[/mm] x = [mm]2^{3}[/mm] = 8 herauskommen.
>
> Dein Lösungsweg mit der Substitution ist mir absolut klar,
> finde diesen sogar besser, jedoch kann ich nicht
> nachvollziehen, warum meine Lösungsweg nicht gewählt
> werden kann, bzw. an welcher Stelle die Betragsstriche hier
> verwendet werden müssten, wodurch eine -8 gerechtfertigt
> würde.
>
Nun zu deiner Aufgabe:
Damit du also wirklich alle Lösungen berücksichtigst, musst du
[mm]x^{10/6}[/mm] = 32 [mm]\gdw x^{5/3}[/mm] = 32 [mm]\gdw (x^{1/3})^{5}=[/mm] 32
[mm]\Rightarrow x^{1/3}[/mm] = [mm] \pm[/mm] [mm]\wurzel[5]{32}[/mm]
Und damit
[mm]x^{1/3}[/mm] = [mm] \pm [/mm] 2 [mm]\gdw[/mm] x = [mm] \pm[/mm] [mm]2^{3}[/mm] = [mm] \pm [/mm] 8
Um nun zu kontrollieren, ob auch wirklich beides Lösungen deiner Aufgabe sind, kannst du diese auch wieder in deine ursprüngliche Aufgabengleichung einsetzen und siehst (hier), dass es wirklich Lösungen sind.
Gruß
Carsten
> Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Carsten,
> Hallo tysal,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > zunächst vielen Dank für diese wunderbare Ausarbeitung;
> > allerdings hätte ich hierzu noch ein paar fragen, weil
> > ich nicht 100% alle Inhalte richtig verstehe, probiere ich
> > noch einmal kurz zusammenzufassen.
> >
> > 1. einen Artikel über komplexe Zahlen habe ich mir bereits
> > durchgelesen und weitgehend verstanden. allerdings glaube
> > ich, dass die Lösungsmenge [mm]\in \IR[/mm] sein soll)
> >
> > 2. Falls die Lösungsmenge wie oben definiert ist, muss ich
> > dann die Fallunterscheidung, d.h. entsprechend deiner
> > Ausführung für x>0 und x<0 treffen?
> >
> > 3. Die Substitution leuchtet ein, aber wie kann es sein,
> > dass bei meiner Anwendung der Wurzel/Potenzgesetzte eine
> > andere Lösung herauskommt?
> > Meine Vorstellung war wie folgt:
> >
> > [mm]x^{10/6}[/mm] = 32 [mm]\gdw x^{5/3}[/mm] = 32 [mm]\gdw (x^{1/3})^{5}=[/mm] 32
> >
> > [mm]\Rightarrow x^{1/3}[/mm] = [mm]\wurzel[5]{32}[/mm]
> >
> > Dafür ist für mich per Definition besagt, dass der
> > Ausdruck in der [mm]\wurzel[5][/mm] nicht negativ werden kann,
> > wodurch keine Betragsstreiche verwendet werden müssen.
>
> Wieso sollte dieser Ausdruck nicht negativ sein können?
oft läßt man [mm] $\sqrt[n]{x}$ [/mm] für ungerades [mm] $n\,$ [/mm] und negatives [mm] $x\,$ [/mm] noch zu, aber
dann darf man halt nicht mehr [mm] $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ [/mm] benutzen: Sowas wie
[mm] $-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1$
[/mm]
würde man sonst rechnen können...
> Mal abgesehen von komplexen Zahlen etc. Bleiben wir mal bei
> den reellen.
> Stell dir vor, du hast die Aufgabe:
> [mm]x^3=-8.[/mm]
> Nach deiner "Definition" gäbe es dafür keine Lösung.
> Allerdings ist x=-2 hier echt ne Lösung, da
> [mm](-2)^3=-8.[/mm]
> Man kann festhalten, dass bei ungeraden Potenzen durchaus
> negative Lösungen auftreten können.
>
> >
> > Im nächsten Schritt würde dann:
> >
> > [mm]x^{1/3}[/mm] = 2 [mm]\gdw[/mm] x = [mm]2^{3}[/mm] = 8 herauskommen.
???
> > Dein Lösungsweg mit der Substitution ist mir absolut klar,
> > finde diesen sogar besser, jedoch kann ich nicht
> > nachvollziehen, warum meine Lösungsweg nicht gewählt
> > werden kann, bzw. an welcher Stelle die Betragsstriche hier
> > verwendet werden müssten, wodurch eine -8 gerechtfertigt
> > würde.
> >
>
> Nun zu deiner Aufgabe:
> Damit du also wirklich alle Lösungen berücksichtigst,
> musst du
>
> [mm]x^{10/6}[/mm] = 32
Wenn man [mm] $\sqrt[6]{x^{10}}=x^{10/6}$ [/mm] schreibt, und auch negative [mm] $x\,$ [/mm] zuläßt,
so darf man am Bruch nichts mehr rumändern (weder kürzen noch erweiten).
S.o.! Darum sollte man sowas hier NIE machen!
> [mm]\gdw x^{5/3}[/mm] = 32 [mm]\gdw (x^{1/3})^{5}=[/mm] 32
> [mm]\Rightarrow x^{1/3}[/mm] = [mm]\pm[/mm] [mm]\wurzel[5]{32}[/mm]
Und hier wird's unsinnig:
[mm] $x^{5/3}=32$ $\iff$ $x^{1/3}=\sqrt[5]{32}=2\,.$
[/mm]
Seit wann ist denn [mm] $(-2)^5=-32=32$??? [/mm]
> Und damit
> [mm]x^{1/3}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 2 [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\pm[/mm] [mm]2^{3}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 8
Die Lösungen sind richtig, beim Weg dahin sind zwei Fehler!!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 27.11.2013 | | Autor: | tysal13 |
Hallo CJcom,
vielen Dank für deine Antwort, jedoch verstehe ich es noch nicht ganz.
Eine Frage hierzu:
[mm] x^{10/6} [/mm] $ = 32 [mm] \gdw x^{5/3} [/mm] $ = 32 [mm] \gdw (x^{1/3})^{5}=32
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{1/3} [/mm] = [mm] \pm \wurzel[5]{32} [/mm]
der linke Term [mm] (x^{1/3})^{5} [/mm] kann doch nicht < 0 werden, da ansonsten eine negative Zahl unter dem Wurzel stehen würde, dass ja lt. Definition nicht erlaubt ist. ( solange wir, nicht mit Komplexen Zahlen arbeiten?)
Mir leuchtet in diesem Zusammenhang ein, dass bei:
[mm] x^{2} [/mm] = 4
[mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = 2, [mm] x_{2}= [/mm] -2
aber bei:
[mm] x^{3} [/mm] = 27
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 3 ( ist die einzige Lösungsmenge, die für [mm] \IR [/mm] definiert ist, oder?)
Dankeschön.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo tysal,
> Hallo CJcom,
>
> vielen Dank für deine Antwort, jedoch verstehe ich es noch
> nicht ganz.
>
> Eine Frage hierzu:
>
>
> [mm]x^{10/6}[/mm] [mm]= 32 \gdw x^{5/3}[/mm] = 32 [mm]\gdw (x^{1/3})^{5}=32[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^{1/3}[/mm] = [mm]\pm \wurzel[5]{32}[/mm]
>
> der linke Term [mm](x^{1/3})^{5}[/mm] kann doch nicht < 0 werden,
der rechte auch nicht: [mm] $\sqrt[5]{32}=2$!!
[/mm]
> da ansonsten eine negative Zahl unter dem Wurzel stehen
> würde, dass ja lt. Definition nicht erlaubt ist. ( solange
> wir, nicht mit Komplexen Zahlen arbeiten?)
Nochmal zur Deutlichkeit: Sobald Du Zahlen $< [mm] 0\,$ [/mm] zuläßt, solltest/darfst Du
sowas wie
[mm] $\sqrt[\ell]{x^n}=x^{n/\ell}$
[/mm]
nicht mehr benutzen - es sei denn, Du "änderst" an den Brüchen nichts (das
bedeutet auch, dass, wenn Brüche multipliziert werden, nicht die Reihenfolge
der Multiplikation verändert werden darf etc. pp.). Zudem bedeutet das,
dass auch ganz klar sein muss, ob
[mm] $x^{n/\ell}=\sqrt[\ell]{x^n}$
[/mm]
oder
[mm] $x^{n/\ell}=(\sqrt[\ell]{x})^n$
[/mm]
gelten soll oder was auch immer. Man muss sich quasi "unabdingbar
festnageln", und da man "bekanntes verliert" (wir wissen doch, was
und wie wir mit Brüchen rechnen können/dürfen), würde man sowas
nie zulassen (je nachdem, wie weit Du Mathematik betreibst, wirst Du
irgendwann etwas von "Repräsentantenunabhängigkeit der Darstellung"
hören - sowas wäre hier verletzt! Denn man bringt quasi [mm] $\sqrt[\ell]{x^n}$ [/mm] in
eine "Darstellung mit Brüchen, wo man aber die Rechenregeln für Brüche
nicht mehr anwenden darf". Diese Darstellung ist dann nur eine symbolische
Veränderung, ohne jeglichen sonstigen Sinn, damit wertlos und sogar
gefährlich!).
> Mir leuchtet in diesem Zusammenhang ein, dass bei:
>
> [mm]x^{2}[/mm] = 4
> [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm] = 2, [mm]x_{2}=[/mm] -2
Genau.
> aber bei:
>
> [mm]x^{3}[/mm] = 27
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = 3 ( ist die einzige Lösungsmenge,
Die einzige "Lösungsmenge" wäre [mm] $\{3\}\,.$ [/mm] Du meinst: Die einzige Lösung!
> die
> für [mm]\IR[/mm] definiert ist, oder?)
Ja.
Wie gesagt: Man kann hier formal sehr vielen Unsinn betreiben (und
trotzdem auf die richtigen Ergebnisse kommen). Das wurde in Eurem
Unterricht bewiesen, und Carsten hat sich auch falsches zusammengeschustert,
damit er am Ende auf die richtigen Ergebnisse kam.
Ich empfehle nach wie vor: Behandle den Fall $x [mm] \ge [/mm] 0$ zuerst, da darfst Du
alles anwenden, was Du kennst und gelernt hast. Und dann guckst Du am
Ende einfach nochmal, ob sich die Ausgangsgleichung auch für $x < [mm] 0\,$ [/mm] lösen
läßt. Ich meine, bei
[mm] $\sqrt[10]{x^{6}}=32$
[/mm]
siehst Du doch: Wenn [mm] $x_1 \ge [/mm] 0$ diese Gleichung löst, dann wird sie auch
von [mm] $x_2:=-x_1 \le [/mm] 0$ gelöst.
Man sollte sich aber dann auch Gedanken machen, ob man damit dann alle
Lösungen erfasst hat. Hier geht das einfach, weil man nach ein paar
(erlaubten!) Umformungen erkennt, dass da nur die Gleichung
[mm] $x^2=64$
[/mm]
anders hingeschrieben wurde.
Übrigens:
[mm] $\sqrt[6]{x^{10}}=32$ $\iff$ $\sqrt[6]{x^{10}}=\sqrt[6]{32^6}\,,$
[/mm]
also
[mm] $x^{10}=32^6$ $\iff$ $x^{10}=2^{5*6}=2^{30}={(2^3)}^{10}\,.$
[/mm]
Auch hier muss man aufpassen, dass
[mm] $x^{10}=r^{10}$
[/mm]
für $x,r [mm] \in \IR$ [/mm] halt äquivalent zu
[mm] $x=\pm [/mm] r$
ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo tysal,
> Hallo Marcel,
>
> zunächst vielen Dank für diese wunderbare Ausarbeitung;
> allerdings hätte ich hierzu noch ein paar fragen, weil
> ich nicht 100% alle Inhalte richtig verstehe, probiere ich
> noch einmal kurz zusammenzufassen.
>
> 1. einen Artikel über komplexe Zahlen habe ich mir bereits
> durchgelesen und weitgehend verstanden. allerdings glaube
> ich, dass die Lösungsmenge [mm]\in \IR[/mm] sein soll)
ja, das war auch mehr "am Rande erwähnt".
> 2. Falls die Lösungsmenge wie oben definiert ist, muss ich
> dann die Fallunterscheidung, d.h. entsprechend deiner
> Ausführung für x>0 und x<0 treffen?
>
> 3. Die Substitution leuchtet ein, aber wie kann es sein,
> dass bei meiner Anwendung der Wurzel/Potenzgesetzte eine
> andere Lösung herauskommt?
> Meine Vorstellung war wie folgt:
>
> [mm]x^{10/6}[/mm] = 32 [mm]\gdw x^{5/3}[/mm]
Da passiert schon der Fehler. Im Prinzip darfst Du für $x < [mm] 0\,$ [/mm] gar nicht
[mm] $x^{10/6}=x^{5/3}$ [/mm] schreiben, wobei wir
[mm] $x^{n/\ell}=\sqrt[\ell]{x^n}$
[/mm]
verstehen wollen.
Einfachstes Beispiel:
[mm] $(-1)^{5/3}=\sqrt[3]{(-1)^5}=-1\,.$
[/mm]
Aber
[mm] $(-1)^{10/6}=\sqrt[6]{(-1)^{10}}=1\,.$
[/mm]
Sowas ist auch der Grund, warum viele sowas wie [mm] $x^{1/n}\,,$ [/mm] egal, ob [mm] $n\,$ [/mm] nun
gerade oder ungerade ist, nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ zulassen. Denn ein einfaches
anderes Beispiel:
[mm] $-2=\sqrt[3]{-8}=(-8)^{1/3}\red{\;=\;}(-8)^{2/6}=\sqrt[6]{(-8)^2}=2\,.$
[/mm]
Das rote [mm] $=\,$ [/mm] ist einfach falsch (obwohl $1/3=2/6$).
P.S. Wenn Du nicht so substituierst, dass Du die Regeln anwenden darfst,
die Du anwenden willst, dann musst Du halt Fallunterscheidungen in
$x [mm] \red{\;\ge\;} [/mm] 0$ und $x < [mm] 0\,$ [/mm] machen, und gucken, was Du überhaupt bei
$x < [mm] 0\,$ [/mm] wie umformen darfst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mi 27.11.2013 | | Autor: | tysal13 |
Hallo zusammen,
ich glaube mein letzter Beitrag ist durch die Antwort, die ich leider verspätet gelesen habe, unnötig geworden, da ich es wohl einigermaßen durch die letzte Ausarbeitung von Marcel verstanden habe.
Dennoch möchte ich mich recht herzlich für die intensiven Bemühungen bedanken.
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