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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösungsmenge GLS
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Lösungsmenge GLS: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Di 21.10.2014
Autor: Karl87

Hallo,

versuche mir gerade deutlich zu machen, wie die Lösungsmenge eines GLS charakterisiert ist anhand einfacher Matrizen.

1.)Nicht lösbar ist ein GLS, wenn gilt: Rang(A) < Rang(A|b)

Beispiel: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]

2.)Lösbar ist ein GLS allgemein, wenn gilt: Rang(A) = Rang(A|b)
2.1)eindeutig lösbar, wenn gilt: Rang(A) = Rang(A|b) = n

Beispiel: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1} [/mm]

2.2)unendlich viele Lösungen, wenn gilt: Rang(A) = Rang(A|b) < n

Beispiel: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0} [/mm]

Sind die Aussagen und Beispiele korrekt gewählt? Gibt es weitere Unterscheidungen bei der Lösungsmenge?

Danke für eure Antwort
Karl

        
Bezug
Lösungsmenge GLS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Di 21.10.2014
Autor: MacMath


> Hallo,
>  
> versuche mir gerade deutlich zu machen, wie die
> Lösungsmenge eines GLS charakterisiert ist anhand
> einfacher Matrizen.
>  
> 1.)Nicht lösbar ist ein GLS, wenn gilt: Rang(A) <
> Rang(A|b)
>  
> Beispiel: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]

Passt, b kann nämlich nicht im Spaltenraum von A liegen.

>  
> 2.)Lösbar ist ein GLS allgemein, wenn gilt: Rang(A) =
> Rang(A|b)

Passt auch, offensichtlich muss b im Spaltenraum von A liegen.

>  2.1)eindeutig lösbar, wenn gilt: Rang(A) = Rang(A|b) = n
>  
> Beispiel: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1}[/mm]

Was ist $n$? Für eine quadratische Matrix A passt das. Im Allgemeinen haben wir aber $n$ Spalten und $m$ Zeilen. Worauf beziehst du dich hier? Denk da bitte genauer drüber nach ;)

> 2.2)unendlich viele Lösungen, wenn gilt: Rang(A) =
> Rang(A|b) < n
>  
> Beispiel: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0}[/mm]

Analog... Was genau ist $n$?

> Sind die Aussagen und Beispiele korrekt gewählt? Gibt es
> weitere Unterscheidungen bei der Lösungsmenge?

Bis auf die kleine Unvollständigkeit richtig.

Gruß
Daniel


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Bezug
Lösungsmenge GLS: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Di 21.10.2014
Autor: Karl87

Habe versucht, möglichst einfache Beispiele anhand von 2x2 Matrizen zu wählen.

Wie sieht das denn für mxn - Matrizen aus? Wie wird hier unterschieden? Die Bedingungen für die 3 verschiedenen Fälle bleiben bestehen? Oder gibt es dann weitere Unterscheidungen?


Bezug
                        
Bezug
Lösungsmenge GLS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 Mi 22.10.2014
Autor: MacMath

Wie gesagt, für quadratische Matrizen ist alles okay.
Aber sag du mir:

Beziehen wir uns bei m x n Matrizen auf m, oder auf n? Warum?

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Bezug
Lösungsmenge GLS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:33 Mi 22.10.2014
Autor: Karl87

Okay, also wenn ich davon ausgehe, dass ich die Lösung des GLS bestimmen will - also untersuche ob der Vektor b in den Spalten liegt/enthalten ist - würde ich von den Spalten (n) ausgehen. oder?

Bezug
                                        
Bezug
Lösungsmenge GLS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:42 Mi 22.10.2014
Autor: fred97


> Okay, also wenn ich davon ausgehe, dass ich die Lösung des
> GLS bestimmen will - also untersuche ob der Vektor b in den
> Spalten liegt/enthalten ist


Nimm an, wir hätten das LGS Ax=b. Dieses LGS ist genau dann lösbar, wenn sich b als Linearkombination der Spalten von A darstellen lässt.


>  - würde ich von den Spalten
> (n) ausgehen. oder?

????

FRED


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Bezug
Lösungsmenge GLS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:31 Mi 22.10.2014
Autor: Karl87

Okay, das meinte ich. Aber inwiefern sind die letzten beiden Beispiele unvollständig?

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Lösungsmenge GLS: Denkanstoß
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mi 22.10.2014
Autor: MacMath

Schau dir doch mal Beispiele mit 2x3 und 3x2 Matrizen A an.

Wie laufen die beiden Fälle hier ab, in denen du mit "n" vergleichst.

Bezug
                                
Bezug
Lösungsmenge GLS: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 22.10.2014
Autor: Karl87

Okay, hier zwei Beispiele:

Matrix A [mm] =\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6} [/mm] Rang(A)=2

Matrix A|b = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 8} [/mm] Rang(A|b)=2

Somit ist das GLS zwar allg. lösbar, jedoch nicht eindeutig, da Rang(A)=Rang(A|b)<3. Richtig? Also gibt es unendlich viele Lösungen?

Matrix B [mm] =\pmat{ 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6} [/mm] Rang(A)=2

Matrix B|b = [mm] \pmat{ 1 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 12} [/mm] Rang(A|b)=3

Da Rang(A) < Rang(A|b) ist das GLS nicht lösbar. Richtig? Sehe den Zusammenhang nicht.

Aber inwiefern waren die ersten Beispiele nun unvollständig?

Bezug
                                        
Bezug
Lösungsmenge GLS: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 Mi 22.10.2014
Autor: Karl87


> Okay, hier zwei Beispiele:
>
> Matrix A [mm]=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6}[/mm] Rang(A)=2
>  
> Matrix A|b = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 8}[/mm]
> Rang(A|b)=2
>  
> Somit ist das GLS zwar allg. lösbar, jedoch nicht
> eindeutig, da Rang(A)=Rang(A|b)<3. Richtig? Also gibt es
> unendlich viele Lösungen?
>  
> Matrix B [mm]=\pmat{ 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6}[/mm] Rang(B)=2
>  
> Matrix B|b = [mm]\pmat{ 1 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 12}[/mm]
> Rang(B|b)=3
>  
> Da Rang(B) < Rang(B|b) ist das GLS nicht lösbar. Richtig?
> Sehe den Zusammenhang nicht.
>  
> Aber inwiefern waren die ersten Beispiele nun
> unvollständig?

Für quadratische nxn-Matrizen waren meine Beispiele also korrekt? Nur im Allgemeinen betrachtet man mxn-Matrizen?

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Bezug
Lösungsmenge GLS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Mi 22.10.2014
Autor: angela.h.b.


> Für quadratische nxn-Matrizen waren meine Beispiele also
> korrekt? Nur im Allgemeinen betrachtet man mxn-Matrizen?

Hallo,

ja.
In Deinen ersten Beispielen war nicht klar, was Du mit dem n meinst, nämlich die Anzahl der Variablen bzw. die Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix.
Man muß bei Lösbarkeitsbetrachtungen ja auch die Fälle bedenken, in denen man mehr oder weniger Gleichungen als Variablen hat. Diese Fälle liefern dann die nichtquadratischen Koeffizientenmatrizen.

LG Angela
 

Bezug
                                        
Bezug
Lösungsmenge GLS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:18 Mi 22.10.2014
Autor: angela.h.b.


> Okay, hier zwei Beispiele:

>

> Matrix A [mm]=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6}[/mm] Rang(A)=2

>

> Matrix A|b = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 8}[/mm]
> Rang(A|b)=2

>

> Somit ist das GLS zwar allg. lösbar,

Hallo,

ja, wegen Rang(A)=Rang(A|b)

> jedoch nicht
> eindeutig, da Rang(A)=Rang(A|b)<3.

Genau.


> Richtig? Also gibt es
> unendlich viele Lösungen?

Ja.


>

> Matrix B [mm]=\pmat{ 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6}[/mm] Rang(A)=2

>

> Matrix B|b = [mm]\pmat{ 1 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 12}[/mm]
> Rang(A|b)=3

>

> Da Rang(A) < Rang(A|b) ist das GLS nicht lösbar. Richtig?

Ja.

> Sehe den Zusammenhang nicht.

Wozu?

>

> Aber inwiefern waren die ersten Beispiele nun
> unvollständig?

Das sollte inzwischen klar sein, s. Mitteilung.

LG Angela

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