Lösungsmenge Ungleichung < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe diese Ungleichung mit Beträgen:
[mm] |x^{2}-9| [/mm] < |x-1|
und dort habe ich für die vier Fälle folgende vier Lösungen heraus bekommen:
[mm] x_{1} [/mm] = 3,37
[mm] x_{2} [/mm] = -3,7
[mm] x_{3} [/mm] = 2,7
[mm] x_{4} [/mm] = -2,37
Wie gebe ich nun bei einer Ungleichung die Lösungsmenge an? Ganz normal mit den x-Werten:
[mm] \IL=\{-3,7; -2,37; 2,7; 3,37\}
[/mm]
oder als Intervall zwischen dem kleinsten und größten Wert:
[mm] \IL=\{-3,7 < x < 3,37\}
[/mm]
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Hallo Mathe-Andi,
> Hallo,
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> ich habe diese Ungleichung mit Beträgen:
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> [mm]|x^{2}-9|[/mm] < |x-1|
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> und dort habe ich für die vier Fälle folgende vier
> Lösungen heraus bekommen:
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 3,37
>
> [mm]x_{2}[/mm] = -3,7
>
> [mm]x_{3}[/mm] = 2,7
>
> [mm]x_{4}[/mm] = -2,37
Nein, du bekommst doch jeweils Lösungsintervalle heraus.
Die Gesamtlösungsmenge ist dann die Vereinigung aller Teillösungsintervalle ...
Zeige mal deine Rechnung ...
>
> Wie gebe ich nun bei einer Ungleichung die Lösungsmenge
> an? Ganz normal mit den x-Werten:
>
> [mm]\IL=\{-3,7; -2,37; 2,7; 3,37\}[/mm]
>
> oder als Intervall zwischen dem kleinsten und größten
> Wert:
>
> [mm]\IL=\{-3,7 < x < 3,37\}[/mm]
>
>
Hier mal die Zeichnung dazu zur Veranschaulichung ...
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Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich habe meine Rechnung eingescannt. Falls es gewünscht wird, tippe ich sie morgen ein, damit sie zitiert werden kann. Ich möchte das ihr das wisst.
Woran sehe ich denn, welche Intervalle das sind? Nehme ich immer die "Intervall-Paare", also die beiden x [mm] \ge [/mm] 1 von x [mm] \ge [/mm] 3 und von x < 3 und die beiden x < 1 von x [mm] \ge [/mm] 3 und von x < 3 ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Mo 14.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Das ist doch ganz klar nach der Antwort von schachuzipus.
Die Funktionswerte der roten Funktion sollen kleiner sein als die der grünen Funktion. Wo ist das nach Zeichnung der Fall? Klar!?
nobsy
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Ok, anhand der Grafik sehe ich es sofort. Aber wenn ich die Grafik nicht habe, woher weiß ich die richtigen Intervalle. Ich sehe bei mir grade nur vier x-Werte die kein Intervall darstellen sondern Punkte auf der x-Achse. Versteht ihr was ich meine?
Ich sage mir:
x [mm] \ge [/mm] 3 und x [mm] \ge [/mm] 1 gilt für x=3,37
usw. verstehe aber nicht, wie damit das Lösungsintervall zustande kommt. Wie bilde ich die Teilmenge, die mir sagt, dass zwischen x=-3,7 und x=-2,37 und zwischen x= 2,7 und x= 3,37 die Lösungsmenge liegt?
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Hallo,
[mm] |x^2-9|=\begin{cases} x^2-9, & \mbox{für } x^2-9\ge 0 \\ -(x^2-9), & \mbox{für } x^2-9<0 \end{cases}
[/mm]
[mm] x^2-9\ge0 [/mm] daraus folgt [mm] x\ge3 [/mm] oder [mm] x\le-3
[/mm]
[mm] x^2-9<0 [/mm] daraus folgt -3<x<3
[mm] |x-1|=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x-1\ge 0 \\ -(x-1), & \mbox{für } x-1<0 \end{cases}
[/mm]
[mm] x-1\ge0 [/mm] daraus folgt [mm] x\ge1
[/mm]
x-1<0 daraus folgt x<1
jetzt sind vier Fälle zu untersuchen
(1) [mm] x^2-9
(2) [mm] -(x^2-9)
(3) [mm] x^2-9<-(x-1)
[/mm]
(4) [mm] -(x^2-9)<-(x-1)
[/mm]
zu (1)
[mm] x^2-9
[mm] x^2-x-8<0 [/mm] berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion [mm] f(x)=x^2-x-8
[/mm]
[mm] 0,5-\wurzel{8,25}
gerundet auf drei Dezimalstellen
-2,372<x<3,372
jetzt ist zusäztlich zu betrachten [mm] x\ge1 [/mm] und [mm] x\ge3, [/mm] für die Lösungsmege bekommst du aus Fall (1)
[mm] 3\le [/mm] x<3,372
zu (2)
[mm] -(x^2-9)
[mm] -x^2+9
[mm] 0
[mm] x<-0,5-\wurzel{10,25}
[/mm]
[mm] x>-0,5+\wurzel{10,25}
[/mm]
gerundet auf drei Dezimalstellen
x<-3,702
x>2,702
jetzt ist zusäztlich zu betrachten -3<x<3 und [mm] x\ge1, [/mm] für die Lösungsmege bekommst du aus Fall (2)
2,702<x<3
vereinigst du (1) und (2)
2,702<x<3,372
die Fälle (3) und (4) überlasse ich dir
Steffi
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> Hallo,
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> [mm]|x^2-9|=\begin{cases} x^2-9, & \mbox{für } x^2-9\ge 0 \\ -(x^2-9), & \mbox{für } x^2-9<0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]x^2-9\ge0[/mm] daraus folgt [mm]x\ge3[/mm] oder [mm]x\le-3[/mm]
>
> [mm]x^2-9<0[/mm] daraus folgt -3<x<3
Ich kann dem nicht ganz folgen. Ich bekomme das heraus:
[mm] x^{2}-9 \ge [/mm] 0 daraus folgt x [mm] \ge [/mm] 3 und x [mm] \ge [/mm] -3
[mm] x^{2}-9 [/mm] < 0 daraus folgt x < 3 und x < -3
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > [mm]|x^2-9|=\begin{cases} x^2-9, & \mbox{für } x^2-9\ge 0 \\ -(x^2-9), & \mbox{für } x^2-9<0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > [mm]x^2-9\ge0[/mm] daraus folgt [mm]x\ge3[/mm] oder [mm]x\le-3[/mm]
> >
> > [mm]x^2-9<0[/mm] daraus folgt -3<x<3
>
>
> Ich kann dem nicht ganz folgen. Ich bekomme das heraus:
>
> [mm]x^{2}-9 \ge[/mm] 0 daraus folgt x [mm]\ge[/mm] 3 und x [mm]\ge[/mm] -3
Du musst elementarstes Zeug nachlernen:
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Du das hier verstehen kannst:
1.) Mache Dir klar, dass für eine Zahl $a [mm] \ge [/mm] 0$ gilt: [mm] $x^2 \ge [/mm] a [mm] \gdw [/mm] |x| [mm] \ge \sqrt{a}\,.$
[/mm]
2.) Übe das Rechnen mit Ungleichungen:
Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt etwa (unter Verwendung der dritten bin. Formel)
[mm] $$x^2 \ge [/mm] 9 [mm] \gdw (x-\sqrt{9})*(x+\sqrt{9}) \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] (x-3)*(x+3) [mm] \ge 0\,.$$
[/mm]
Nun ist das Produkt zweier reeller Zahlen genau dann [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] wenn beide [mm] $\ge [/mm] 0$ oder wenn beide [mm] $\le [/mm] 0$ sind.
Also gilt:
$$(x-3)*(x+3) [mm] \ge [/mm] 0$$
genau dann, wenn einer der beiden folgenden Fälle eintritt:
1. Fall: $x-3 [mm] \ge [/mm] 0$ UND $x+3 [mm] \ge [/mm] 0$
oder
2. Fall: $x-3 [mm] \le [/mm] 0$ UND $x+3 [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Und wenn man Bedingungen etwa der Art, dass gleichzeitig
$x [mm] \ge [/mm] u$ UND $x [mm] \ge [/mm] v$
gelten soll, dann ist solch' eine wie oben sicher genau dann erfüllt, wenn man $x [mm] \ge \max\{u,v\}$ [/mm] hat.
Ebenso ist
$x [mm] \le [/mm] u$ UND $x [mm] \le [/mm] v$
gleichwertig zu $x [mm] \le \min\{u,v\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> zu (1)
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> [mm]x^2-9
>
> [mm]x^2-x-8<0[/mm] berechne die Nullstellen der quadratischen
> Funktion [mm]f(x)=x^2-x-8[/mm]
>
> [mm]0,5-\wurzel{8,25}
>
> gerundet auf drei Dezimalstellen
>
> -2,372<x<3,372
>
(...)
>
> zu (2)
>
> [mm]-(x^2-9)
>
> [mm]-x^2+9
>
> [mm]0
> Funktion [mm]f(x)=x^2+x-10[/mm]
>
> [mm]x<-0,5-\wurzel{10,25}[/mm]
>
> [mm]x>-0,5+\wurzel{10,25}[/mm]
>
> gerundet auf drei Dezimalstellen
>
> x<-3,702
>
> x>2,702
Warum schreibst du die Rechnung einmal so:?
> [mm]0,5-\wurzel{8,25}
und einmal so:
> [mm]x<-0,5-\wurzel{10,25}[/mm]
>
> [mm]x>-0,5+\wurzel{10,25}[/mm]
Ist es nur eine andere Schreibweise? Könnte man für letztere auch
[mm] -0,5+\wurzel{10,25}
schreiben?
Kann man also bei Ungleichungen die x-Werte gleich immer in so einer Intervallschreibweise berechnen?
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Hallo,
im Fall (1) ist zu untersuchen [mm] x^2-x-8<0, [/mm] also der Teil der Parabel [mm] f(x)=x^2-x-8, [/mm] der UNTERHALB der x-Achse liegt
[Dateianhang nicht öffentlich]
im Fall (2) ist zu untersuchen [mm] 0
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ok. Eine andere Sache auf die ich gekommen bin:
Wegen der pq-Formel bei einer Ungleichung. Ich faktorisiere die Ergebnisse à la [mm] (|x|-x_{1}) [/mm] * [mm] (|x|-x_{2})<0
[/mm]
Dann sehe ich, da ein Wert negativ der andere positiv ist, dass die Gleichung erfüllt ist wenn x zwischen diesen Werten liegt und es gilt: -2,372<x<3,372
Ok das habe ich jetzt verstanden.
Aber wieso berücksichtigst du für den 1. Fall [mm] x^{2}-9 [/mm] < x-1 nicht das x < -3.
Ich habe doch nun diese Ungleichungen die ich noch aufeinander anwenden muss.
x [mm] \ge [/mm] 3
x < -3
x [mm] \ge [/mm] 1
-2,372 < x < 3,372
Edit:
Ich lese gerade x [mm] \ge [/mm] 3 ODER x < -3. Warum? Weil für x [mm] \ge [/mm] 3 die Gleichung (x+3) * (x-3) [mm] \ge [/mm] 0 ist, also erfüllt ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:48 Mi 16.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn du die Graphik von [mm] x^2-9 [/mm] ansiehst solltest du doch direkt sehen, dass [mm] x^2-9>0 [/mm] ist, wenn x<-3 ist oder x>3
oder setz x=-3.01,3 und x=3.01>3 ein und stell fest, dass es stimmt!
wenn x>3 ist es sicher auch >1 also kannst du fuer den fall gleich schreiben >3
[mm] x^2-9
usw.
es lohnt sich wirklich die Graphen anzusehen, dann sollten alle Fragen geklaert sein.
Gruss leduart
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Für [mm] x^{2}-9 \ge [/mm] 0 gilt ja entweder x [mm] \ge [/mm] 3 ODER x [mm] \le [/mm] -3.
Bei der Fallunterscheidung ziehe ich aber nur x [mm] \ge [/mm] 3 ran. Warum ziehe ich nicht auch (stattdessen - es heißt ja entweder oder) die Möglichkeit x [mm] \le [/mm] -3 heran? Bitte nicht auf den Graphen verweisen, bitte rechnerisch erklären. Das ist die einzige Sache die ich bis hierhin noch nicht verstehe.
Ich danke euch an dieser Stelle nochmal für Eure Geduld mit mir.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Do 17.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für [mm]x^{2}-9 \ge[/mm] 0 gilt ja entweder x [mm]\ge[/mm] 3 ODER x [mm]\le[/mm] -3.
>
> Bei der Fallunterscheidung ziehe ich aber nur x [mm]\ge[/mm] 3 ran.
> Warum ziehe ich nicht auch (stattdessen - es heißt ja
> entweder oder) die Möglichkeit x [mm]\le[/mm] -3 heran? Bitte nicht
> auf den Graphen verweisen, bitte rechnerisch erklären. Das
> ist die einzige Sache die ich bis hierhin noch nicht
> verstehe.
>
> Ich danke euch an dieser Stelle nochmal für Eure Geduld
> mit mir.
Du hattest ja zu untersuchen:
$$ [mm] |x^{2}-9| [/mm] < [mm] |x-1|\,.$$ [/mm]
Offenbar hast Du nun gesagt: Okay, es gibt für (zunächst) die Berechnung von [mm] $|x^2-9|\,$ [/mm] zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $x^2-9 \ge [/mm] 0$
2. Fall: [mm] $x^2-9 [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
Nun hast Du den 1. Fall untersucht, und machst die Feststellung:
"Ach Du Schande, [mm] $x^2-9 \ge [/mm] 0$ gilt genau dann, wenn entweder $x [mm] \ge [/mm] 3$ oder $x [mm] \le [/mm] -3$ ist."
(Steffis "aus [mm] $x^2-9 \ge [/mm] 0$ folgt $x [mm] \ge [/mm] 3$ oder $x [mm] \le [/mm] -3$" war übrigens ein wenig schlecht, wir brauchen ja gerade die Folgerungen in umgekehrter Richtung. Glücklicherweise ist das eh aber eigentlich eine 'genau-dann, wenn-'-Aussage, was Steffi formuliert hatte!)
Nun betrachten wir Fall 1a):
Sei $x [mm] \ge 3\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $x^2-9 \ge 0\,.$ [/mm] Für $x [mm] \ge [/mm] 3$ ist aber auch $x-1 [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Daher ist hier die zu untersuchende Ungleichung
[mm] $$|x^2-9| [/mm] < |x-1|$$
für diese [mm] $x\,$ [/mm] gleichwertig zu
[mm] $$x^2-9 [/mm] < x-1$$
bzw. gleichwertig zu
[mm] $$x^2-x-8 [/mm] < [mm] 0\,.$$ [/mm]
Für welche $x [mm] \ge [/mm] 3$ die nun gilt, kann man weiter untersuchen...
Und es gibt den Fall 1b):
Sei $x [mm] \le -3\,.$ [/mm] Dann ist offenbar [mm] $x^2-9 \ge [/mm] 0$ und auch $x-1 < [mm] 0\,.$ [/mm] Damit geht die zu untersuchende Ungleichung
[mm] $$|x^2-9| [/mm] < |x-1|$$
hier über in die hier äquivalente Ungleichung
[mm] $$x^2-9 [/mm] < -(x-1)$$
bzw. in
[mm] $$x^2+x-10 [/mm] < [mm] 0\,.$$
[/mm]
Beide Fälle kann man noch rechnerisch zu Ende untersuchen. Ich sehe keinen Grund, den Fall $x [mm] \le [/mm] -3$ nicht zu rechnen (ich habe aber auch nirgends gesehen, dass einer sowas hier getan hätte)!
Gruß,
Marcel
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Bei diesen "Entweder Oder" Fällen wie x [mm] \ge [/mm] 3 oder x [mm] \le [/mm] -3...legt man sich auf eine Bedingung fest und lässt die andere unter den Tisch fallen? So hab ich das bei dir verstanden Marcel.
Bitte werft einen Blick über meine Rechnung. Ich frage erstmal ob das alles so ok ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Do 17.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
unter 1 hast du den Fall x<-3, x>1 das kann doch nicht vorkommen, also ist die Gl danach sinnlos. entsprechend weiter unten, wenn eine der Ungl der anderen widerspricht, ist klar dass fuer den Fall keine loesung vorliegen kann.
Kontrollier deine restlichen ergebnisse entsprechend.
eigentlich wurden dir doch alle relevanten faelle inzwischen vorgerechnet? warum kannst du das nicht nahvollziehen, schreib oder druck dir die entsprechenden posts doch raus.
Deine scans sind zwar deutlich, aber wenn ich antworten will, kan ich nicht zitieren und deine Fehler markieren, bitte schreib deshalb deine Rechnungen im formeleditor, dann kannst du unsere antworten auch besser verstehen.
du sagst du musst bzw. willst all den stoff selbst durchackern, gerade dann solltest du dich mit den skizzen vertraut machen statt unnoetig vieler z.T. ueberfluessiger Rechnungen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 17.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bei diesen "Entweder Oder" Fällen wie x [mm]\ge[/mm] 3 oder x [mm]\le[/mm]
> -3...legt man sich auf eine Bedingung fest und lässt die
> andere unter den Tisch fallen?
nein!
> So hab ich das bei dir
> verstanden Marcel.
Wo soll ich sowas gesagt haben?
Selbstzitat:
> Beide Fälle kann man noch rechnerisch zu Ende
> untersuchen. Ich sehe keinen Grund, den Fall
> $ x [mm] \le [/mm] -3 $ nicht zu rechnen (ich habe aber auch
> nirgends gesehen, dass einer sowas hier getan hätte)!
Wie kommst Du zu solchen Behauptungen? Alle Fälle sollten betrachtet/durchgespielt werden. Was mal passieren kann, ist, dass Fälle nicht durchgespielt werden können, weil sie nicht existieren können:
Ein Fall, wo etwa gleichzeitig $x [mm] \le -3\,$ [/mm] und dann auch $x > [mm] 1\,$ [/mm] sein sollte, existiert nicht:
Andernfalls gäbe es ja ein [mm] $x\,$ [/mm] mit
$$x [mm] \in ((-\infty,-3] \cap (1,\infty))\,,$$
[/mm]
aber wegen
[mm] $$(-\infty,-3] \cap (1,\infty)=\emptyset$$
[/mm]
gibt es ein solches [mm] $x\,$ [/mm] sicher nicht.
Gruß,
Marcel
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Achso, gerade hats Klick gemacht. Eine Ungleichung darf der anderen des selben Falles nicht widersprechen, sonst gibt es keine Lösung. D.h. ich muss aus den vorhandenen Bedingungen eine wahre Ungleichung aufstellen. Ist dies nicht möglich bleibt die Lösungsmenge leer.
Dann sehen meine Ergebnisse aus Fall 1 so aus:
3 < x < 3,372 (das hatte Steffi auch raus)
-3,702 < x < -3
und aus Fall 2:
2,702 < x < 3
-3 < x < -2,37
Jetzt vereinige ich die vier Lösungsmengen indem ich sie mir u.a. am Zahlenstrahl einzeichne und bekomme heraus:
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{x| -3,702 < x < -2,37 \cup 2,702 < x < 3,372 \}
[/mm]
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Hallo,
jetzt hast Du es verstanden!
LG Angela
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