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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge
|3w+7|-9 [mm] \ge [/mm] |3-|2w|| |
Hallo an alle
Hab jetzt angefangen Nanotechnologie zu studieren und haben heute unser erstes Arbeitsblatt bekommen.
Gab an sich keine Schwierigkeiten bis auf diese Aufgabe.
Wäre schön wenn sich einer mal meine Fallunterscheidung anschauen könnte.
Bin mir da nicht wirklich sicher bzw kann die Aufgabe iwie nicht vollständig lösen
Das habe ich bisher:
Fall 1: w > 0
3w+7-9 [mm] \ge [/mm] |3-2w|
3w-2 [mm] \ge [/mm] |3-2w|
1.1: 0<w<2 // ist hier das Intervall richtig gewählt?
3w-2 [mm] \ge [/mm] 3-2w
5w [mm] \ge [/mm] 5
w [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] w < 2
Fall 2: w<0
|3w+7|-9 [mm] \ge [/mm] |3+2w|
2.2: w [mm] \le [/mm] -3 // liege ich hier richtig?
-3w-7-9 [mm] \ge [/mm] -3-2w
-w [mm] \ge [/mm] 13
w [mm] \le [/mm] -13
Fall 3: w=0
-2 [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] nope!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 13.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Martin,
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge
>
> |3w+7|-9 [mm]\ge[/mm] |3-|2w||
>
> Hallo an alle
> Hab jetzt angefangen Nanotechnologie zu studieren und
> haben heute unser erstes Arbeitsblatt bekommen.
> Gab an sich keine Schwierigkeiten bis auf diese Aufgabe.
> Wäre schön wenn sich einer mal meine Fallunterscheidung
> anschauen könnte.
> Bin mir da nicht wirklich sicher bzw kann die Aufgabe iwie
> nicht vollständig lösen
>
> Das habe ich bisher:
>
> Fall 1: w > 0
>
> 3w+7-9 [mm]\ge[/mm] |3-2w|
> 3w-2 [mm]\ge[/mm] |3-2w|
>
> 1.1: 0<w<2 // ist hier das Intervall
> richtig gewählt?
>
> 3w-2 [mm]\ge[/mm] 3-2w
> 5w [mm]\ge[/mm] 5
> w [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\le[/mm] w < 2
>
> Fall 2: w<0
>
> |3w+7|-9 [mm]\ge[/mm] |3+2w|
>
> 2.2: w [mm]\le[/mm] -3 // liege ich hier
> richtig?
>
> -3w-7-9 [mm]\ge[/mm] -3-2w
> -w [mm]\ge[/mm] 13
> w [mm]\le[/mm] -13
>
> Fall 3: w=0
>
> -2 [mm]\ge[/mm] 3 [mm]\Rightarrow[/mm] nope!!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
wieso machst Du denn die obigen Fallunterscheidungen? Generell liegt
doch folgende Vorgehensweise erstmal nahe (die Bedeutung der Syntax
kommt unten)
1. [mm] $(\le,\le,\le)$
[/mm]
2. [mm] $(\ge,\le,\le)$
[/mm]
3. [mm] $(\le,\ge,\le)$
[/mm]
4. [mm] $(\le,\le,\ge)$
[/mm]
5. [mm] $(\ge,\ge,\le)$
[/mm]
6. [mm] $(\ge,\le,\ge)$
[/mm]
7. [mm] $(\le,\ge,\ge)$
[/mm]
8. [mm] $(\ge,\ge,\ge)$
[/mm]
Das sind 8 Fälle, von denen wir sicher sehen werden, dass gewisse Fälle
niemals eintreten können.
Aber dafür sollte ich Dir auch zuerst sagen, was ein Tripel
[mm] $(\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c})$
[/mm]
mit [mm] $\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c} \in \{\le,\;\ge\}$ [/mm] bedeutet:
Das Tripel [mm] $(\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c})$ [/mm] steht für den Fall
[mm] $3w+7\;\textbf{a}\;0$ [/mm] und $3-|2w| [mm] \;\textbf{b}\;0$ [/mm] und $w [mm] \;\textbf{c}\;0\,.$
[/mm]
Das sieht jetzt sicher immer noch verwirrend aus, wird aber sicher klarer,
wenn ich es Dir am Beispiel demonstriere:
1. [mm] $(\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c})=(\le,\le,\le)$ [/mm] (also [mm] $\textbf{a}=\textbf{b}=\textbf{c}$ [/mm] sind alle das Symbol [mm] $\le$)
[/mm]
Hier geht es also darum, den Fall
$3w+7 [mm] \le [/mm] 0$ und [mm] $3-|2w|\le [/mm] 0$ und $w [mm] \le [/mm] 0$
zu betrachten.
Es gilt
$w [mm] \le [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] ($3-|2w| [mm] \le [/mm] 0$ [mm] $\iff$ [/mm] $3+2w [mm] \le [/mm] 0$ [mm] $\iff$ [/mm] $w [mm] \le [/mm] -3/2$)
und die Bedingung
$3w+7 [mm] \le [/mm] 0$
bedeutet
$w [mm] \le -7/3\,.$
[/mm]
Der 1. Fall [mm] ($\le$, $\le$, $\le$) [/mm] ist also äquivalent zu
$w [mm] \le -7/3\,.$
[/mm]
Wir betrachten also zunächst den
1. Fall: $w [mm] \le -7/3\,.$
[/mm]
Dann ist
$|3w+7|-9 [mm] \ge [/mm] |3-|2w||$
gleichwertig zu
$-(3w+7)-9 [mm] \ge -(3-(-2w))\,,$
[/mm]
was äquivalent ist zu
$-3w-7-9 [mm] \ge [/mm] -3-2w$
[mm] $\iff$ [/mm] $-13 [mm] \ge [/mm] w$
Für $w [mm] \le [/mm] -7/3$ ist die zu erfüllende Ungleichung also äquivalent zu
$w [mm] \le -13\,,$
[/mm]
so dass Du erkennst, dass für $w [mm] \le [/mm] -13$ die zu erfüllende Ungleichung gilt.
Und, damit Du nicht ganz verzweifelst, dass es ja noch 7 weitere Fälle
zu behandeln gibt:
Etwa der 7. Fall ist unmöglich, denn:
Wir würden dort voraussetzen wollen, dass
[mm] $\red{w \le -7/3}$ [/mm] und $3-2w [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $\red{w \ge 0}$
[/mm]
gilt. Es gibt aber schon kein [mm] $w\,$ [/mm] mit $w [mm] \le [/mm] -7/3$ und zugleich $w [mm] \ge 0\,,$ [/mm] anders
gesagt
[mm] $]-\infty,\;-7/3] \cap [0,\;\infty[$ $\,=\,$ $\varnothing\,.$
[/mm]
P.S. Du könntest bei den Fallunterscheidungen auch mit [mm] $\le$ [/mm] und [mm] $>\,,$ [/mm] oder mit
[mm] $\ge$ [/mm] und [mm] $<\,$ [/mm] arbeiten. Aber da die Fallunterscheidungen "es gilt [mm] $A\,$ [/mm] oder [mm] $B\,$"
[/mm]
nicht ausschließen müssen, dass zugleich [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] gilt, habe ich das
oben nicht getan. Denn es ist nicht notwendig.
P.P.S. Wenn Du die Aufgabe so angehst, wundere Dich nicht, es ist ein wenig
anstrengend, alles durchzuspielen.
Ansonsten: Um mit den Fällen die Lösungsmenge zu erhalten, kannst
Du analog zu
dem hier (klick!)
vorgehen. (Oben wissen wir bereits:
[mm] $\IL_{\text{1. Fall}}=]-\infty,\;-13],$
[/mm]
[mm] $\IL_{\text{7.Fall}}=\varnothing\,,$ [/mm] ...)
Ferner: Ob Deine Lösungsmenge korrekt ist, kannst Du einfach überprüfen,
indem Du Dir den Graphen von
$x [mm] \mapsto [/mm] |3x+7|-9-|3-|2x||$
plotten läßt. Die [mm] $x\,$-Werte, [/mm] deren Funktionswerte auf oder oberhalb der
[mm] $x\,$-Achse [/mm] liegen, sagen ... was aus?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Martin_Ph |
Hey Marcel,
danke für die Hilfe und gute Erklärung!!
Konnte die Aufgabe dadurch vollständig lösen :)
Weiß im Nachhinein auch nicht so recht was ich mir bei den Intervallgrenzen gedacht hatte...
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