Lösungsmenge bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Sa 23.10.2004 | | Autor: | DSJuster |
Mir fehlt zu dieser Aufgabe der Ansatz ... ich weiß nicht wie ich hier beginnen soll.
[mm] z\in \IN [/mm] 4 ist Teiler von [mm] z^{4}-2z+1
[/mm]
Wär schön wenn mir jemand wenigstens einen Ansatz dafür geben könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Sa 23.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
erstmal kann man feststellen, dass wenn [m] z [/m] gerade ist, der ausdruck [m] z^4 - 2z + 1 [/m] bestimmt nicht durch $4$ teilbar ist, denn dann sind die ersten beiden summanden gerade und danach wird [m] 1 [/m] addiert, der gesamte ausdruck ist also ungerade und damit bestimmt nicht durch [m] 4 [/m] teilbar.
andererseits gilt für [m] z = 4k + 1 [/m] oder [m] z = 4k + 3 [/m] mit [m] k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} [/m], dass der ausdruck durch $4$ teilbar ist - wenn ich mich nicht verrechnet habe. das sieht man einfach indem man $z = 2k+ 1$ in obiger darstellung einsetzt, ausrechnet und dann eine $4$ ausklammern kann.
probiere das mal, wenn probleme auftreten kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 23.10.2004 | | Autor: | DSJuster |
Ich hab das jetzt gemacht und konnte auch die 4 ausklammern, womit ich ja bewiesen hätte das der Term durch 4 teilbar ist. Aber wie komme ich jetzt auf die Lösungsmenge, die ich brauche und wie rechtfertige ich das einsetzen von z=2k+1, ich mein inwiefern hat mich das jetzt weitergebracht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 23.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
so wie ich die aufgabe verstehe ("lösungsmenge bestimmen") sollst du die menge
[m] L := \left\{ z \in \mathbb{N} : 4 | z^4 -2z + 1 \} [/m]
möglichst explizit angeben? (wobei [m] 4 | x [/m] heißt, dass [m] x [/m] von $4$ geteilt wird).
du hast ja gezeigt, dass für alle geraden [m] z [/m] gilt: [m] z \not\in L [/m], da der ausdruck [m] z^4 - 2z + 1 [/m] dann ungerade ist und damit erst recht nicht von $4$ geteilt werden kann.
andrerseits lässt sich jede ungerade zahl in der form [m] z = 2k + 1 [/m] mit [m] k \in \mathbb{N} \cup \{0\} [/m] darstellen ([m] 1 = 2 \cdot 0 + 1, \; 3 = 2 \cdot 1 + 1, \; 5 = 2 \cdot 2 + 1, \; , \hdots [/m]) und du hast gezeigt, dass für alle zahlen in diesem format gilt: [m] z \in L [/m]. damit hast du aber alle natürliche zahlen untersucht und insgesamt gezeigt, dass gilt [m] L = \{ z \in \mathbb{N} : z \textrm{ ist ungerade} \} = \{ z \in \mathbb{N} : \exists \, k \in \mathbb{N} \cup \{0\} : z = 2k + 1 \} [/m].
grüße
andreas
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:34 Sa 23.10.2004 | | Autor: | DSJuster |
Wenn ich dann allerdings [mm] A_{1} \cup [/mm] a{2} bestimmen soll hab ich mit der Antwort doch ein leichtes Problem.
Du bist dir aber sicher das es keine Lösung von einer endlichen Reihe natürlicher Zahlen gibt, die man jetzt da herausfinden kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Frage ist konfus und kann von uns nicht beantwortet werden.
Was ist
[mm]A_{1} \cup[/mm] a{2}[/mm] ?
Bitte drücke dich verständlich aus, wenn du willst, dass wir dir helfen.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Bambi |
Verstehe ich die Aufgabe richtig?
Du sollst also Zeigen, dass 4 ein Teiler von [mm] z^{4}-2z+1 [/mm] ist [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IN [/mm] ?
Also ganzzahliges Vielfaches von 4? Denn das stimmt doch für 2 zum Beispiel gar nicht. Für z=2 : 16-4+1=13 - kein ganzzahliges Vielfaches von 4.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Sa 23.10.2004 | | Autor: | DSJuster |
ich denke das hast du richtig verstanden, so würde ich jedenfalls diese Frage/Aufgabe interpretieren
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