Lösungsmenge der Gleichung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge der Gleichung
ax + bx = c, a,b,c [mm] \IR
[/mm]
für (x,y) [mm] \IR² [/mm] ist entweder die leere Menge, ganz [mm] \IR² [/mm] oder eine Gerade der Form (x0, y0) + [mm] \IR(v0, [/mm] w0) mit (x0, y0) [mm] \IR² [/mm] und (v0, w0) [mm] \IR² [/mm] mit v0² + w0² > 0.
Welche möglichkeiten können bei c=0 auftreten? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei der Teilaufgabe c=0: Muss ich dort nicht einfach gleichsezten und das war´s schon?
Bei der Hauptaufgabe habe ich leider keine Ahnung, tut mir leid, dass ich das so sagen muss, aber mir fällt kein Ansatz ein. Habe schon versucht nach x aufzulösen und dann einzusetzen, aber dabei kommt nix vernünftiges raus.
Könnt ihr mir weiterhelfen???
|
|
| |
|
> Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge der Gleichung
>
> ax + by = c, a,b,c [mm]\IR[/mm]
>
> für (x,y) [mm]\IR²[/mm] ist entweder die leere Menge, ganz [mm]\IR²[/mm]
> oder eine Gerade der Form (x0, y0) + [mm]\IR(v0,[/mm] w0) mit (x0,
> y0) [mm]\IR²[/mm] und (v0, w0) [mm]\IR²[/mm] mit v0² + w0² > 0.
>
> Welche möglichkeiten können bei c=0 auftreten?
> Bei der Teilaufgabe c=0: Muss ich dort nicht einfach
> gleichsezten und das war´s schon?
>
> Bei der Hauptaufgabe habe ich leider keine Ahnung, tut mir
> leid, dass ich das so sagen muss, aber mir fällt kein
> Ansatz ein. Habe schon versucht nach x aufzulösen und dann
> einzusetzen, aber dabei kommt nix vernünftiges raus.
>
> Könnt ihr mir weiterhelfen???
Hallo,
es wäre um Klassen besser, würdest Du das, was Du gerechnet und überlegt hast inkl. der Unvernünftigkeiten hier vorzeigen.
Dann hätte man nämlich eine Ahnung davon, was Du kannst und was nicht, und was gerade "dran" war.
Letzteres ist übrigens ein brandheißer Tip, mit welchem ich viele meine Übungsaufgaben bewältigt habe. Ich habe geguckt, inwiefern die Zutaten der Aufgabe mit dem, was gerade besprochen wurde, deckungsgleich sind...
In Prinzip hast Du da oben mit ax + by = c doch eine Geradengleichung vorliegen, wie Du sie aus der Mittelstufe kennst.
Die zu den Gleichungen passenden Geraden, die Du früher ins Koordinatensystem gezeichnet hast, sind ja nichts anderes, als die Lösungsmengen dieser Gleichungen.
Damit die Gleichung keine Lösung hat, müssen a,b,c ganz besonders beschaffen sein, ebenso, wenn die Lsg. ganz [mm] \IR^2 [/mm] sein soll.
Da Du in der Algebra postest, nehme ich an, daß Du lineare Algebra hörst und ihr gerade Gleichungssysteme und ihre Lösungen besprecht.
ax + by = c ist ein Gleichungssystem. Es besteht aus einer Gleichung, aber wenn es Dir leichter fällt, kannst Du ja noch die Gleichung 0*x + 0*y = 0*c dazuschreiben. Die verändert ja die Lösungsmenge nicht, aber vielleicht fällt Dir dann besser ein, wie die Koeffizientenmatrix aussieht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Erstmal danke für die schnelle Antwort! Mit der Vorlesung versuch ich´s immer als erstes. Aber bis jetzt hatten wir nur Mengen, Abbildungen und Relationen. Ich habe absolut nichts brauchbares für diese Aufgabe gefunden.
Ich dachte auch es ist eine ganz einfache Aufgabe, da es sich ja "nur" um eine Gleichung handelt. Allerdings ist das doch eine x-beliebige Gleichung für die ich alle Werte einsetzen kann. Deshalb ist es mir nicht ganz klar, wie die Gleichung als Lösung die leere Menge oder eine Gerade haben kann (ich kann doch alle Zahlenkombinationen wählen). Vielleicht steh ich auch total auf dem Schlauch, werd nochmal ne Nacht drüber grübeln.
Zu der Unteraufgabe: wenn c null ist, gibt es doch nur die Möglichkeit, dass a und b, x und y, a und y oder b und x null sind oder das ax=-by und dafür gibt es unendlich viel Lösungen. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das die Antwort ist! Das wäre doch zu einfach.
|
|
|
| |
|
> Ich habe absolut
> nichts brauchbares für diese Aufgabe gefunden.
> Ich dachte auch es ist eine ganz einfache Aufgabe, da es
> sich ja "nur" um eine Gleichung handelt. Allerdings ist das
> doch eine x-beliebige Gleichung für die ich alle Werte
> einsetzen kann.
Hallo,
Du mußt diese Gleichung so lesen: die x, y sind Deine Variable.
a,b,c sind "beliebig, aber fest".
Die verändern sich nicht. Du kannst mit ihnen so rechnen, als stünden da Zahlen (was bedeutet, daß Du genauso aufpassen mußt, daß Du nicht durch 0 dividierst.)
Wenn jetzt a,b,c alle [mm] \not=0 [/mm] sind, so ist y= [mm] \bruch{c-ax}{b}.
[/mm]
x kannst Du völlig beliebig wählen, z.B. sagen wir [mm] x=\lambda \in \IR.
[/mm]
Dann haben alle Lösungen der Gleichung die Gestalt [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{{\lambda} \\ \bruch{c-a*\lambda}{b}}=...
[/mm]
Das kannst Du Dir nun umsortieren in Stützvektor +Parameter*Richtungsvektor.
Nun untersuche die Ergebnisse, wenn einer , zwei oder gar alle drei Koeffizienten =0 sind.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Sa 10.11.2007 | | Autor: | AnneKatrin |
Vielen Dank!!! Ich stand wohl echt auf dem Schlauch. Na klar, a,b und c sind fest. Dann kann ich damit was anfangen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
leider weiß ich immer noch nicht wie ich begründen kann, dass man eine Gerade als Lösung erhalten kann. DAs einzige was mir bis jetzt dazu einfiel: x= x0 * ( c-by / a), also ein Vielfaches von x0. Aber was mit R * v0,w0) gemeint ist, keine Ahnung.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> leider weiß ich immer noch nicht wie ich begründen kann,
> dass man eine Gerade als Lösung erhalten kann. DAs einzige
> was mir bis jetzt dazu einfiel: x= x0 * ( c-by / a), also
> ein Vielfaches von x0. Aber was mit R * v0,w0) gemeint ist,
> keine Ahnung.
Es ist damit genau das gemeint, was Du stehen hast.
Das, was Du jetzt [mm] x_0 [/mm] nennst, ist ein Parameter und durchläuft ganz [mm] \IR. [/mm]
(v0,w0) ist ein Vektor, und den hast Du doch auch: ( c-by / a).
Gruß v. Angela
|
|
|
|
