Lösungsmenge einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Gegeben sei die Ungleichung:
1 [mm] \le \bruch{5-x}{x^2-x-2}
[/mm]
Bestimmen Sie die Lösungsmenge L (über dem Körper R). |
Ich habe jetzt untersucht:
Zuerst habe ich geguckt an welchen stellen diese nicht definiert ist:
[mm] x^2-x-2 [/mm] = 0
also x1=2 und x2=-1
Dann habe ich die Ungleichung umgestellt und geguckt an welchen Stellen sie in der eigentliche Lösungsmenge liegt:
1 = [mm] \bruch{5-x}{x^2-x-2}
[/mm]
5-x = [mm] x^2-x-2
[/mm]
[mm] x^2-7 [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] = 7
also
x1 = [mm] \wurzel[]{7} [/mm] und x2= - [mm] \wurzel[]{7}
[/mm]
Also die Funktion ist definiert:
- [mm] \infty [/mm] < -1 < 2 < [mm] \infty
[/mm]
und die 2 Schnittpunkte
[mm] \wurzel[]{7} [/mm] und [mm] -\wurzel[]{7}
[/mm]
Somit bilde ich die Mengen
L = [mm] (-\infty,-\wurzel[]{7}]\cup(2,\wurzel[]{7}]
[/mm]
ist das richtig? An welcher Stelle habe ich ein Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mi 10.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sei die Ungleichung:
> 1 [mm]\le \bruch{5-x}{x^2-x-2}[/mm]
> Bestimmen Sie die
> Lösungsmenge L (über dem Körper R).
> Ich habe jetzt untersucht:
> Zuerst habe ich geguckt an welchen stellen diese nicht
> definiert ist:
> [mm]x^2-x-2[/mm] = 0
> also x1=2 und x2=-1
Das ist schonmal gut.
> Dann habe ich die Ungleichung umgestellt und geguckt an
> welchen Stellen sie in der eigentliche Lösungsmenge
> liegt:
> 1 = [mm]\bruch{5-x}{x^2-x-2}[/mm]
> 5-x = [mm]x^2-x-2[/mm]
> [mm]x^2-7[/mm] = 0
> [mm]x^2[/mm] = 7
> also
> x1 = [mm]\wurzel[]{7}[/mm] und x2= - [mm]\wurzel[]{7}[/mm]
>
> Also die Funktion ist definiert:
> - [mm]\infty[/mm] < -1 < 2 < [mm]\infty[/mm]
> und die 2 Schnittpunkte
> [mm]\wurzel[]{7}[/mm] und [mm]-\wurzel[]{7}[/mm]
> Somit bilde ich die Mengen
> L = [mm](-\infty,-\wurzel[]{7}]\cup(2,\wurzel[]{7}][/mm]
>
> ist das richtig? An welcher Stelle habe ich ein Fehler
> gemacht?
Du hast das Umdrehen des Ungleichungszeichen nicht beachtet, wenn du mit negativen Zahlen multiplizierst.
Außerdem machst du es dir zu kompliziert.
Es macht Sinn, die Ungleichung mit dem Nenner durchzumultiplizieren. Dabei musst du bedenken, dass dü für -1<x<2 mit einer negativen Zahl multiplizierst, du musst also eine Fallunterscheidung machen, und zwar in die drei Fälle Fall 1: x<-1
Fall 2: x>2
Fall 3: -1<x<2
Fall 1:
[mm] 1\le\frac{5-x}{x^{2}-x-2}
[/mm]
ergibt nach dem multiplizieren mit dem Nenner
[mm] x^{2}-x-2\le5-x
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}\le7
[/mm]
Und das ist erfüllt für [mm] x\ge-\sqrt{7} [/mm] und [mm] x\le\sqrt{7}
[/mm]
Aber durch die Fallunterscheidung bekommst du hier die Zusatzbedingung x<-1, also bekommst du hier dann die Falllösung [mm] $-\sqrt{7}\le [/mm] x<-1$
Fall 2:
[mm] 1\le\frac{5-x}{x^{2}-x-2}
[/mm]
ergibt nach dem multiplizieren mit dem Nenner
[mm] x^{2}-x-2\le5-x
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}\ge7
[/mm]
Und das ist (siehe oben) erfüllt für [mm] $-sqrt{7}\le x\le\sqrt{7}$
[/mm]
Aber durch die Fallunterscheidung bekommst du hier die Zusatzbedingung x>2, also bekommst du hier dann die Falllösung [mm] 2
Fall 3:
[mm] 1\le\frac{5-x}{x^{2}-x-2}
[/mm]
ergibt nach dem multiplizieren mit dem negativen Nenner
[mm] x^{2}-x-2\ge5-x
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}\ge7
[/mm]
Und das ist erfüllt für [mm] x\ge-\sqrt{7} [/mm] und [mm] x\le\sqrt{7}
[/mm]
Aber durch die Fallunterscheidung bekommst du hier die Zusatzbedingung -1<x<2, also bekommst du hier dann keine weitere Falllösung mehr.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Oh Danke!
Also ist die Lösungsmenge jetzt
L = [mm] [-\wurzel[]{7}, [/mm] -1) [mm] \cup (2,\wurzel[]{7}]
[/mm]
Und
Sup(L)=Max(L) = [mm] \wurzel[]{7}
[/mm]
Inf(L)=Min(L) = [mm] -\wurzel[]{7}
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mi 10.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Ja korrekt!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Danke ! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Könntest du mir nochmal erklären woran ich sehe ob ich nach
[mm] x^2 \le [/mm] 7 oder [mm] x^2 \ge [/mm] 7 gucken soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 10.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
> Könntest du mir nochmal erklären woran ich sehe ob ich
> nach
> [mm]x^2 \le[/mm] 7 oder [mm]x^2 \ge[/mm] 7 gucken soll?
Das sind doch ein paar elementare Umformungen, um aus
[mm] x^{2}-x-2\le5-x [/mm] auf [mm] x^{2}\le7 [/mm] zu kommen, musst du doch nur auf beiden Seiten +2 und +x rechnen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | (c) Was ändert sich bei (a) und (b), wenn zusätzlich die Nebenbedingung x > 0 betrachtet wird?
(d) Welche Lösungsmenge L hat die Ungleichung, wenn sie über dem Körper [mm] \IQ [/mm] betrachtet wird? Existieren
inf(L) und sup(L) in [mm] \IQ? [/mm] |
Zu c)
Wenn die Bedingung von x > 0 zusätzlich betrachtet wird bleibt die Lösungsmenge L = [mm] (2,\wurzel[]{7}] [/mm] also
Inf(L)=2 und Min(L) existiert nicht
Zu d) Bei [mm] \IQ [/mm] würde [mm] \wurzel[]{7} [/mm] nicht definiert sein aber ob inf und sup existieren, darauf komme ich nicht.
Kannst du hier auch weiterhelfen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mi 10.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
> (c) Was ändert sich bei (a) und (b), wenn zusätzlich die
> Nebenbedingung x > 0 betrachtet wird?
>
> (d) Welche Lösungsmenge L hat die Ungleichung, wenn sie
> über dem Körper [mm]\IQ[/mm] betrachtet wird? Existieren
> inf(L) und sup(L) in [mm]\IQ?[/mm]
> Zu c)
> Wenn die Bedingung von x > 0 zusätzlich betrachtet wird
> bleibt die Lösungsmenge L = [mm](2,\wurzel[]{7}][/mm] also
> Inf(L)=2 und Min(L) existiert nicht
So ist es.
>
> Zu d) Bei [mm]\IQ[/mm] würde [mm]\wurzel[]{7}[/mm] nicht definiert sein
Auch das stimmt
> aber ob inf und sup existieren, darauf komme ich nicht.
Hier müsste ich wissen, wie ihr das Infimum bzw das Supremum definiert habt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Ich glaube allgemein wie z.B. bei Wikipedia
Ein Element b [mm] \in [/mm] M heißt obere Schranke von T, wenn x [mm] \leq [/mm] b für alle x [mm] \in [/mm] T gilt.
Ein Element b ∈ M heißt Supremum von T, wenn b eine kleinste obere Schranke von T ist.
Aber ich denke wenn man diese Definition jetzt betrachtet gibt es kein inf und sup da [mm] \wurzel[]{7} \not\in \IQ
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 10.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube allgemein wie z.B. bei Wikipedia
>
> Ein Element b [mm]\in[/mm] M heißt obere Schranke von T, wenn x
> [mm]\leq[/mm] b für alle x [mm]\in[/mm] T gilt.
> Ein Element b ∈ M heißt Supremum von T, wenn b eine
> kleinste obere Schranke von T ist.
>
> Aber ich denke wenn man diese Definition jetzt betrachtet
> gibt es kein inf und sup da [mm]\wurzel[]{7} \not\in \IQ[/mm]
Bei sup hast Du recht. Bei inf nicht, denn 2 [mm] \in \IQ
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Jetzt kommt die Frage ob die Bedingung aus (c) immer noch gilt oder nicht mehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 10.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
> Jetzt kommt die Frage ob die Bedingung aus (c) immer noch
> gilt oder nicht mehr.
Meiner Meinung nach nicht mehr, die Einschränkung auf positive Zahlen sollte für Aufgabe d) irrelevant sein.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Mi 10.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Beim 3. Fall stimmt das erste Ungleichheitszeichen meines Erachtens nach nicht
es müsste
$ [mm] 1\le\frac{5-x}{x^{2}-x-2} [/mm] $
und somit
[mm] x^{2}\ge7 [/mm]
Ändert aber nichts an der Lösungsmenge!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mi 10.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Lule
> Beim 3. Fall stimmt das erste Ungleichheitszeichen meines
> Erachtens nach nicht
> es müsste
>
> [mm]1\le\frac{5-x}{x^{2}-x-2}[/mm]
> und somit
> [mm]x^{2}\ge7[/mm]
> Ändert aber nichts an der Lösungsmenge!!
Danke, ich ändere es gleich ab.
Marius
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