Lösungsmengen linearer Gleichu < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
a.) x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 6
b.) -3 x1 + 6 x2 - 6 x3 = 5
2 x1 - 4 x2 + 4 x3 = -2
c.) -6 x1 - 3 x2 + 6 x3 = 9
4 x1 + 2 x2 - 5 x3 = -6 |
Ich habe hier folgende Aufgaben, die ich nicht verstehe. Einerseits gibt es gar keine Lösung, dann nur eine oder es gibt unendlich viele Lösungen.
Das System zur Lösung von Matrizen ist mir klar, doch hier bei dieser Aufgaben bekomme ich durch die zwei Therme nichteinmal zur Lösung von x1, x2 bzw. x3.
Wie soll das Ganze mit zwei Gleichungen funktinieren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 05.05.2011 | | Autor: | abakus |
> 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
>
> a.) x1 + x2 + x3 = 3
> x1 + 2 x2 + 3 x3 = 6
Hallo,
du kannst erst einmal noch eine Variable eliminieren, z.B. durch Subtrahieren derr 1. von der 2. Gleichung.
Übrig bleibt [mm] x_2+2x_3=3. [/mm]
Jetzt kannst du für eine dieser beiden Variablen (hier am Einfachsten für [mm] x_3) [/mm] eine beliebige reelle Zahl einsetzen und daraus die zweite Variable errechnen. Diese beiden Werte setzt du in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhältst so den passenden Wert für [mm] x_1.
[/mm]
Sei also [mm] x_3 [/mm] eine beliebige reelle Zahl t.
Aus [mm] x_2+2x_3=3 [/mm] folgt dann [mm] x_2+2t=3 [/mm] und somit [mm] x_2=3-2t.
[/mm]
Die Ausgangsgleichung [mm] x_1 [/mm] + [mm] \red{ x_2 }+ \blue{x_3} [/mm] = 3 wird somit zu
[mm] x_1 [/mm] + [mm] \red{3-2t}+ \blue{t} [/mm] = 3
Umstellen nach [mm] x_1 [/mm] liefert [mm] x_1=\green{t}
[/mm]
Die Lösungstripel ist somit [mm] (\green{t}; \red{3-2t}; \blue{t})
[/mm]
Probe in (I): t+(3-2t)+t ist tatsächlich 3.
Probe in (II): t+2(3-2t)+3t ist tatsächlich 6.
Gruß Abakus
PS: Hättest du nicht t für [mm] x_3, [/mm] sondern beispielsweise eine reelle Zahl r für [mm] x_2 [/mm] einsesetzt, wäre das Lösungstripel (1,5-0,5k ; k ; 1,5-0,5k). Das sieht zwar völlig anders aus, führt aber auf die gleiche Lösungsmenge. So liefert t=0 in der ersten Version das gleiche Tripel wie k=3 in der zweiten.
>
> b.) -3 x1 + 6 x2 - 6 x3 = 5
> 2 x1 - 4 x2 + 4 x3 = -2
>
> c.) -6 x1 - 3 x2 + 6 x3 = 9
> 4 x1 + 2 x2 - 5 x3 = -6
> Ich habe hier folgende Aufgaben, die ich nicht verstehe.
> Einerseits gibt es gar keine Lösung, dann nur eine oder es
> gibt unendlich viele Lösungen.
>
> Das System zur Lösung von Matrizen ist mir klar, doch hier
> bei dieser Aufgaben bekomme ich durch die zwei Therme
> nichteinmal zur Lösung von x1, x2 bzw. x3.
>
> Wie soll das Ganze mit zwei Gleichungen funktinieren?
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Die Lösung war komplett nachvollziehbar, also habe ich b.) und c.) jetzt alleine probiert und vielleicht könntest du ja noch einmal ein Blick draufwerfen.
b.) -3 x1 + 6 x2 - 6 x3 =5 *2
2 x1 - 4 x2 + 4 x3 = -2 *3
I -6 x1 + 12 x2 - 12 x3 =10
II 6 x1 - 12 x2 + 12 x3 = -6
I + II = 0 = 4
Also stimmen die Gleichungen nicht.
c.) -6 x1 - 3 x2 + 6 x3 = 9 *2
6 x1 - 12 x2 + 12 x3 = -6 *3
I -12 x1 - 6 x2 + 12 x3 = 18
II 12 x1 + 4 x2 - 10 x3 = -12
I + II = -2 x2 + 2 x3 = 6 :2
- x2 + x3 = 3
d.h. x3 = 3 + x2
- x2 ( 3+ x2 ) = 3
3 = 3
Das heißt doch, dass die Gleichungen stimmen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 06.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Die Lösung war komplett nachvollziehbar, also habe ich b.)
> und c.) jetzt alleine probiert und vielleicht könntest du
> ja noch einmal ein Blick draufwerfen.
>
> b.) -3 x1 + 6 x2 - 6 x3 =5 *2
> 2 x1 - 4 x2 + 4 x3 = -2 *3
>
> I -6 x1 + 12 x2 - 12 x3 =10
> II 6 x1 - 12 x2 + 12 x3 = -6
>
> I + II = 0 = 4
>
> Also stimmen die Gleichungen nicht.
>
> c.) -6 x1 - 3 x2 + 6 x3 = 9 *2
> 6 x1 - 12 x2 + 12 x3 = -6 *3
Mit welcher Gleichung rechnest du denn hier? Das ist nicht die zweite Gleichung von c).
Gruß Abakus
>
> I -12 x1 - 6 x2 + 12 x3 = 18
> II 12 x1 + 4 x2 - 10 x3 = -12
>
> I + II = -2 x2 + 2 x3 = 6 :2
> - x2 + x3 = 3
> d.h. x3 = 3 + x2
>
> - x2 ( 3+ x2 ) = 3
>
> 3 = 3
>
> Das heißt doch, dass die Gleichungen stimmen, oder?
|
|
|
| |
|
Okay, das war dann wohl ein kleiner Tippfehler meinerseits.
Es müsste nicht 6 x1 heißen, sondern 4 x1.
Stimmt der Rest denn so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu b) Es gibt keine Gleichungen, die stimmen oder Nicht stimmen.
Ein Gleichungsystem hat
a)a genau eine Lösung die lösungsmenge ist ein punkt im [mm] \IR^3
[/mm]
b) unendlich viele lösungen die lösungsmenge ist ne gerade oder Ebene
c)keine Lösung, die lösungsmenge ist leer
in b) hast du die variante c)
in c) musst du die Lösungsmenge angeben, das seh ich nicht. wo steht sie?
Gruss leduart
|
|
|
|
