Lösungsraum DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Di 18.05.2010 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | | Bestimme Lösungsraum der DGL [mm] y^{4} [/mm] =y, sowie den Unterraum der Lösungen, für die [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] y(x) = 0 gilt. |
ich komme mit der Aufgabe leider nicht ganz zurecht.. ich habe mal probiert den Lösungsraum zu bestimmen:
[mm] y^{4}=y, [/mm] umgeschrieben:
[mm] y^{4} [/mm] -y =0
[mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^4 -\lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda (\lambda^3 [/mm] -1) =0
Somit ergeben sich die Nullstellen: [mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \lambda [/mm] = 1
Also [mm] FS:\{e^0,e^1x\}
[/mm]
Und dann der Lösungsraum: [mm] \{a\*e^x + b | a,b \in \IR\}
[/mm]
aber ich kann nicht so wirklich was mit den Lösungen des Unterraums und mit der Bedingung für die [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] y(x) = 0 anfangen, kann mir da vielleich jemand helfen??
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Di 18.05.2010 | | Autor: | julmarie |
ich hab vergessen, dass in der Aufgabe steht, dass Komplexwertige Lösungen gesucht sind:
Also erhalte ich die Nullstellen: [mm] \lambda [/mm] = 1 , [mm] \lambda [/mm] = -1, [mm] \lambda [/mm] = i, [mm] \lambda [/mm] = -i und [mm] \lambda [/mm] = 0
und dann habe ich mir nochmal gedanken über die Bedingung gemacht, dies gilt ja nur für [mm] e^{-x}, [/mm] weil nur dann nähert sich die Funktion 0 an..
aber mir fehölt irgendwie noch der Überblick..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Di 18.05.2010 | | Autor: | julmarie |
ach mist ab noch ne Fehler endeckt:
Es ergibt sich ja: [mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^{4} [/mm] -1 =0
also fällt [mm] \lambda= [/mm] 0 als Nullstelle weg!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Di 18.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme Lösungsraum der DGL [mm]y^{4}[/mm] =y,
Du meinst sicher [mm]y^{(4)}[/mm] =y,
> sowie den Unterraum
> der Lösungen, für die [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] y(x) =
> 0 gilt.
> ich komme mit der Aufgabe leider nicht ganz zurecht.. ich
> habe mal probiert den Lösungsraum zu bestimmen:
>
> [mm]y^{4}=y,[/mm] umgeschrieben:
> [mm]y^{4}[/mm] -y =0
>
> [mm]P(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^4 -\lambda[/mm] = 0
> [mm]\lambda (\lambda^3[/mm] -1) =0
Grade sehe ich: das char. Polynom ist falsch !!!
>
> Somit ergeben sich die Nullstellen: [mm]\lambda[/mm] = 0 und [mm]\lambda[/mm]
> = 1
Da fehlen noch 2 Nullstellen ( die nichtreellen !!)
Edit :die Nullstellen sind 1, -1, i und -i
> Also [mm]FS:\{e^0,e^1x\}[/mm]
>
> Und dann der Lösungsraum: [mm]\{a\*e^x + b | a,b \in \IR\}[/mm]
Nein. Der Lösungsraum von [mm]y^{(4)}[/mm] =y ist 4 -dimensional.
und eine Basis davon ist [mm] e^x, e^{-x}, [/mm] sin(x) , cos(x)
>
> aber ich kann nicht so wirklich was mit den Lösungen des
> Unterraums und mit der Bedingung für die
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] y(x) = 0 anfangen, kann mir da
> vielleich jemand helfen??
Die allgemeine Lösung von [mm]y^{(4)}[/mm] =y siet nun so aus:
$y(x) = [mm] ae^{-x}+be^x+c*sin(x)+d*cos(x) [/mm] $ mit a,b,c,d [mm] \in \IR
[/mm]
Für welche a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] gilt nun $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] $ y(x) = 0 ?
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 18.05.2010 | | Autor: | julmarie |
Ja stimmt ich hab mich da etwas vertan:
mit [mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] ^{4} -1
ergeben sich die Nullstellen: [mm] \lambda= [/mm] 1, -1, i und -i
Also [mm] FS:\{e^{-1x},e^{1x}, e^{-ix}, e^{ix}\}
[/mm]
Dann ergibt sich der Lösungsraum: [mm] \{a*e^{x} + b* e^{-x} + c*e^{ix} + d*e^{-ix} | a,b,c,d \in \IR\} [/mm]
und nur e^-x nähert sich 0 an, also gilt nur dafür die Bedingung oder??
Und was ist mit dem Unterraum?
und wie kommst du darauf und eine Basis davon ist $ [mm] e^x, e^{-x}, [/mm] $ sin(x) , cos(x) , spieziell auf sin(x) und cos(x)???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Di 18.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja stimmt ich hab mich da etwas vertan:
>
> mit [mm]P(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] ^{4} -1
> ergeben sich die Nullstellen: [mm]\lambda=[/mm] 1, -1, i und -i
>
> Also [mm]FS:\{e^{-1x},e^{1x}, e^{-ix}, e^{ix}\}[/mm]
> Dann ergibt
> sich der Lösungsraum: [mm]\{a*e^{x} + b* e^{-x} + c*e^{ix} + d*e^{-ix} | a,b,c,d \in \IR\}[/mm]
Wenn Du schon im komplexen bist, so sei konsequent:
Lösungsraum: [mm]\{a*e^{x} + b* e^{-x} + c*e^{ix} + d*e^{-ix} | a,b,c,d \in \IC \}[/mm]
>
> und nur e^-x nähert sich 0 an, also gilt nur dafür die
> Bedingung oder??
>
> Und was ist mit dem Unterraum?
>
> und wie kommst du darauf und eine Basis davon ist [mm]e^x, e^{-x},[/mm]
> sin(x) , cos(x) , spieziell auf sin(x) und cos(x)???
[mm] $e^{ix}= [/mm] cos(x)+i sin(x)$
Ein reelles Fundamentalsystem ist gegeben durch: [mm]e^x, e^{-x},sin(x), cos(x)[/mm]
Zum Unterraum: die allgemeine Lösung lautet:
$y(x) = [mm] a*e^{x} [/mm] + b* [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] c*e^{ix} [/mm] + [mm] d*e^{-ix}$ [/mm] (x [mm] \in \IR)
[/mm]
Wegen [mm] $|e^{ix}|= |e^{-ix}|=1$ [/mm] und [mm] e^x \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty [/mm] gilt:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}y(x)= [/mm] 0$ [mm] \gdw [/mm] a=c=d=0 [mm] \gdw [/mm] $y(x)= b* [mm] e^{-x}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 18.05.2010 | | Autor: | julmarie |
Tausend Dank
|
|
|
|
