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Lösungsskizze für Ich (NOCH NICHT FERTIG): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:18 Di 24.06.2003
Autor: Marc

Hallo Ich,

zur Sicherheit gebe ich dir auch noch die Lösungen inklusive Rechenweg.

Die "grobe" Lösungsidee ist für das Volumen des Körpers, dass zuerst das Volumen des Zylinders berechnet wird, und davon das Volumen des "herausgebohrten" Kegel subtrahiert wird. Ich hoffe, dass ist von der Anschauung her klar.

Die Gesamtoberfläche ist etwas komplizierter, aber auch nicht schwierig: Zunächst haben wir die Oberflächen des Zylinders, allerdings ohne eine Grundfläche (die ein Kreis ist). Statt dieser Kreisfläche wurde sozusagen die Mantelfläche des Kegels eingesetzt (wohlgemerkt, nur die Mantelfläche und nicht die Oberfläche, denn dem Kegel fehlt ja auch die Grundfläche).

Vorweg --weil ich diese Größen jetzt mehrmals erwähnt habe-- berechne ich das Volumen, die Oberfläche und die Grundfläche des Zylinders.

Der Zylinder hat einen Durchmesser von d=12cm und eine Höhe von k=24cm.

Damit gilt für die Grundfläche GZyl:

[mm] G_{Zyl} = \pi \cdot r^2 [/mm]
[mm]= \pi \cdot (6cm)^2 [/mm]
[mm] = 113,10cm^3 [/mm]

Für das Volumen:
[mm] V_{Zyl} = \pi \cdot r^2 \cdot k [/mm]
[mm]=\pi \cdot (6cm)^2 \cdot 24 cm [/mm]
[mm] = 2714,34 cm^3 [/mm]

(Das Volumen hätte man auch mit [mm] V = G \cdot k [/mm] berechnen können).

Für die Oberfläche:
[mm] O_{Zyl} = 2 \cdot G + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot k [/mm]
[mm]= 2 \cdot 113,10cm^3 + 2 \cdot \pi \cdot 6cm \cdot 24cm [/mm]
[mm]= 904,78 cm^2[/mm]

Das waren die interessanten Größen für den Zylinder.




So, nun zum Kegel.

Für Teilaufgabe a) ist dessen Achsenschnitt ein gleichseitiges Dreieck, und da die untere Seite mit dem Durchmesser des Zylinders zusammenfällt, sind alle Seiten d=12cm lang.
Die Höhe ist dann -- nach dem Satz des Pythagoras:
[mm] d^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow d^2 = \frac{d^2}{4} + h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{4 \cdot d^2}{4} - \frac {d^2}{4} = h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{3 \cdot d^2}{4} = h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h^2 = \frac{3 \cdot d^2}{4}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{ \frac{3 \cdot d^2}{4}}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \frac{ \sqrt{ 3 \cdot d^2}}{\sqrt{4}}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \frac{ \sqrt{ 3 } \cdot \sqrt{d^2}}{2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \frac{ \sqrt{ 3 } \cdot d}{2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}[/mm]

Das war vielleicht jetzt ein bißchen ausführlich... und ich hätte jetzt fast vergessen, die eigentlichen Zahlen einzusetzen ;-)

[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{3} \cdot \frac{12cm}{2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{3} \cdot 6cm[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = 10,39cm [/mm]

Die Höhe des Kegels beträgt also [mm]h = 10,39cm [/mm].

Insgesamt hat der Kegel also den Radius r=6cm und die Höhe h=10,39cm; sein Volumen beträgt:
[mm] V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h[/mm]
[mm]= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (6cm)^2 \cdot 10,39cm [/mm]
[mm] = 391,69cm^3[/mm]

Das Volumen des aufgebohrten Zylinders:
[mm]V = V_{Zyl} - V_{Kegel}[/mm]
[mm]= 2714,34 cm^3-391,69cm^3[/mm]
[mm]= 2322,65 cm^3[/mm]

Oberfläche:
[mm] O = O_{Zyl} - G_{Zyl} + M_{Kegel} [/mm]

Das überlasse ich dir, ich beschäftige mich jetzt lieber mit Teilaufgabe b) :-)




Hier soll der Achsenschnitt des Kegels ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck sein. Das auch hier die Grundflächen übereinstimmen sollen, ist die untere Seite (=die Grundlinie=die Basis) des Dreiecks d=12cm lang. Diese Seite ist auch gleichzeitig die Hypotenuse, denn der rechte Winkel befindet sich ja in der Spitze des Kegels.

Wir können nun den Satz des Pythagoras benutzen, um die Längen der Katheten auszurechnen; ihre Länge nenne ich mal [mm]a[/mm].

[mm]\mbox{Hypotenuse}^2 = \mbox{Kathete}^2 + \mbox{Kathete}^2[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow d^2 = a^2 + a^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow d^2 = 2 \cdot a^2[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow 2 \cdot a^2= d^2[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a^{2} = \frac{d^2}{2}[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}}[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a = \frac{12cm}{\sqrt{2}}[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a = 8,49cm[/mm]

So, jetzt kennen wir schon mal die Längen der Katheten, allerdings sind wir --wie im Aufgabenteil a)-- eher an der Höhe des Dreiecks interessiert, denn diese Höhe ist ja auch gleichzeitig die Höhe des Kegels.

Die Höhe teilt unser rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck in zwei gleich große (rechtwinklige) Teildreiecke, auf die wir wieder den Satz des Pythagoras anwenden können; die Hypotenuse in einem Teildreick ist jetzt aber die Seite a (siehe oben):

[mm] a^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + h^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h^2 = a^2 - \left( \frac{d}{2} \right)^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h^2 = (8,49cm)^2 - (6cm)^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h^2 = 36,08cm^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h = 6,01cm [/mm]

Ab hier kommst du aber alleine klar, oder? Bitte melde dich mit deinen Ergebnisse / Fragen. :-)

Viele Grüße,
Marc

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