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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Di 20.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Aufgabe: [mm] z^{5} [/mm] = i
Polarform: z = [mm] re^{i\alpha}
[/mm]
Satz von Moivre: (cos [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \* [/mm] sin [mm] \alpha)^{5} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wir haben gerade mit Komplexen Zahlen angefangen. Ich hab mir sämtliche Einführungen durchgelesen, verstehe auch das Grundprinzip.
Was ich aber immer noch nicht schaffe, ist solche einfachen Gleichungen wie die obige zu lösen!
Wie weit ich grade bin: ich kenne eine Lösung: z = 1.
unser tutor hat gemeint, wir könnten das in eine polar-form einsetzen (siehe oben)
ein andrer student eines höheren semsters hat hingegen gemeint, es wäre günstiger, den Satz von Moivre zu wählen (siehe auch oben).
Mein Problem: Ich kenne doch den Winkel Alpha gar nicht, den ich brauche! Ich weiß, dass er in diesem Fall 90 Grad bzw. Pi halbe sein muss, weil ich die Lösung z=1 hab, aber das ist ja nicht immer so. Gibt es eine generelle möglichkeit dieses Alpha (ich glaube man nennt es Argument? ) zu berechnen? Und der Radius? Ist der hier jetzt nur r=1 weil wir die Lösung z=1 haben?
Gibt es vielleicht einen einfachen Lösungsweg für solche Gleichungen?
Ich wär echt jedem dankbar der mir auch nur ein bisschen helfen kann, grade tun sich sogar die höheren Semester mit dieser Gleichung schwer, die doch eigtl relativ einfach aussieht.
Also danke schonmal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MattiJo!
Den Winkel jeder beliebigen komplexen Zahl erhältst Du aus der Formel [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{Im(z)}{Re(z)}$ [/mm] .
Dabei musst Du aber etwas aufpassen, in welchem Quadranten der Gauß'schen Zahlenebene Deine komplexe Zahl $z_$ liegt.
Zeichne Dir $i_$ mal als komplexe Zahl mit $0+1*i_$ in die Zahlenebene ein: da solltest Du feststellen, dass diese Zahl auf der senkrechten Achse liegt, die einen Winkel von $90° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] zur x-Achse hat.
Der Radius $r_$ entspricht dem Betrag der komplexen Zahl mit:
$$r \ = \ |z| \ = \ |x+i*y| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mi 21.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | | [mm] z^{5} [/mm] = i |
Hallo,
danke für die schnelle Hilfe!
mir ist jetzt einiges klarer geworden, vor allem wie ich auf betrag und winkel komme.
aber leider schaff ich es immer noch nicht diese Gleichung zu lösen. Kann es sein dass mir der Moivre-Satz gar nicht weiterhelfen kann? Bin ich auf dem Holzweg?
Kann ich nun die Polarform anwenden? Aber wenn ja: Wie könnte ich jetzt weitermachen?
(Bin grad etwas deprimiert dass mir so eine einfach aussehende Frage so viel Kummer bereitet :-/ )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Mi 21.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erstens mal: Wenn man komplexe Zahlen multipliziert addieren sich die Winkel und die Beträge werden multipliziert.
2. also heisst [mm] z^5 [/mm] dass fünfmal ein Winkel addiert wurde.
also muss man um zurück zu kommen wieder durch 5 teilen.
da der Betrag von i 1 ist und jede Wurzel davon auch hast du also erstmal den Winkel [mm] \pi/10. [/mm] da aber [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] \pi/2+2\pi [/mm] und [mm] \pi/2+ 4\pi [/mm] usw. dasselbe i geben musst du auch noch [mm] \pi/10+\2\pi/5 \pi/10+4\pi/5 [/mm] usw. also insgesamt 5 verschieden Wurzeln. (auch 1 hat im Komplexen 5 verschiedene Wurzeln, nur eine davon ist 1) .
(die moivre Form und die Polarform sind praktisch dasselbe, wenn man das mit dem Winkel durch 5 teilen und die Wurzel aus r ziehen weiss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mi 21.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
Hey,
vielen vielen dank für deine schnelle antwort noch zu dieser späten stunde!
jetzt ist mir und meinem kommilitonen einiges klarer geworden. nur eins verstehen wir noch nicht:
"... da der Betrag von i 1 ist und jede Wurzel davon auch hast du also erstmal den Winkel $ [mm] \pi/10. [/mm] $ "
Wie kommst du auf $ [mm] \pi/10. [/mm] $ für den Winkel? Wenn ich den Einheitskreis zeichne müsste doch der Winkel erstmal Pi Halbe sein oder?
Vielen Dank nochmals und ich hoffe du kannst uns noch ganz kurz bescheid geben =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Do 22.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] \pi/10 [/mm] waren schon die [mm] \pi/2 [/mm] durch 5 geteilt. sorry wenn das zu knapp war also eine Wurzel hat [mm] \phi=\pi/10, [/mm] die nächste [mm] 5\pi/10 [/mm] usw.
[mm] z!=1*e^{\pi/10}=cos(\pi/10)+isin(\pi/10)=0,951+i*0,309
[/mm]
kontrolliert eure Werte mit ner Zeichnung!
Gruss leduart
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