Log-Likelihood < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin nicht sicher, ob diese Frage nicht lieber zur Analysis sollte, aber ich stell sie trotzdem mal:
Warum hat die Log-Likelihoodfunktion die gleichen Maxima, wie die Likelihoodfunktion?
Ich habe bisher rausgefunden, dass das daran liegt, dass es eine Transformation ist. Aber nicht jede Transformation hat die gleichen Maxima? Was gilt da denn noch?
Danke
Cindy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das müsste doch allgemein für jede monoton steigende Transfomation gelten. Oder für noch mehr?
Wie kann ich sowas zeigen? Anschaulich ist es mir schon klar, aber ich kann es nicht mathematisch formulieren...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Do 12.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Angenommen, f hat im Punkt x0 ein (lokales) Maximum. Dann gibt es eine Umgebung U von x0 mit:
f(x) ist kleinergleich f(x0) für jedes x in U.
Ist nun g eine nmonoton wachsende Funktion (deren Def.-bereich den Bildbereich von f enthält), so folgt
g(f(x)) ist kleinergleich g(f(x0)) für jedes x in U.
Hilft Dir das?
FRED
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ja klar.
Ich hab wohl einfach zu kompliziert gedacht, als ich das zeigen wollte.
Vielen Dank !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Hallo,
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> ich bin nicht sicher, ob diese Frage nicht lieber zur
> Analysis sollte, aber ich stell sie trotzdem mal:
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> Warum hat die Log-Likelihoodfunktion die gleichen Maxima,
> wie die Likelihoodfunktion?
Weil der Logarithmus *streng* monoton wachsend.
Mit monoton wachsend ist ein Maximum der ursprünglichen Funktion auch ein Maximum der Transformierten, aber es können weitere dazukommen (Bsp.: [mm] f(x)=-x^2; [/mm] g(x)=3. g ist monoton wachsend, und das Maximum von f bei 0 bleibt erhalten, aber jeder andere Wert von x ist jetzt auch ein Maximum).
Gelte $g(x)<g(y)\ [mm] \forall [/mm] x<y$.
Dann folgt für [mm] $g(f(x^\*))>g(f(x))\ \forall x\in [/mm] A$ sofort [mm] $f(x^\*)>f(x)$, [/mm] und damit ist bei [mm] $x^\*$ [/mm] ein Maximum von f (lokal/global, hängt davon ab, ob A eine Umgebung oder der gesamte [mm] $\IR^n$ [/mm] oder was auch immer ist, aber auch das bleibt natürlich erhalten. D.h. ein globales Maximum bleibt ein globales).
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