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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Di 19.06.2007 | | Autor: | backett |
Huhu Leute,
mal ne Frage zu Logarithmen. Als Vorbereitung für den nächsten Unterricht schaue ich mir gerade mal Logarithmen an.
V.a. den Logarithmus naturalis. Dabei habe ich was in Wiki erspät.
[mm] a^{x} [/mm] = [mm] e^{x \* \ln{a}}
[/mm]
wie kommt man darauf ?
ich weiss, dass für das [mm] a^{x} [/mm] gilt: [mm] x=\log_a(x). [/mm] das wars eigentlich schon auch.
vllt. kommt man da drauf, wenn man von a^(x) den [mm] \ln(...) [/mm] bildet. dann wäre das dich [mm] \ln(a^x).
[/mm]
dann [mm] e^{\ln(a^x)} [/mm] = [mm] e^{x*\ln(a)} [/mm] ???
is bestimmt total einfach, aber ich sehs grad nit .. -.-
wäre nett, wenn sich einer bereit erklärte mit mal meinen peinlichen denkfehler zu zeigen :P
Liebe Grüße Denis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Denis!
Ich heiße dich herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Huhu Leute,
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> mal ne Frage zu Logarithmen. Als Vorbereitung für den
> nächsten Unterricht schaue ich mir gerade mal Logarithmen
> an.
> V.a. den Logarithmus naturalis. Dabei habe ich was in Wiki
> erspät.
>
> [mm]a^{x}[/mm] = [mm]e^{x \* \ln{a}}[/mm]
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> wie kommt man darauf ?
Man hat hier versucht ein beliebige Exponetialfunktion mit der Basis a so umzuformen, dass die Basis e entsteht.
Dazu kann man folgenden Ansatz wählen:
I: [mm] e^{c}=a^{x} [/mm] (quasi: Die eulersche Zahl hoch einer Unbekannten c ist das gleiche wie die Basis a hoch x. Gesucht ist also c, der Exponent der eulerschen Zahl)
Nun auf beiden Seiten den Logarithmus naturalis anwenden:
[mm]ln(e^{c})=ln(a^{x})[/mm]
Nach Logarithmengesetz gilt:
[mm]c*ln(e)=x*ln(a)[/mm]
Der ln(e)=1, also steht dort jetzt die Lösung für c:
II: [mm]c=x*ln(a)[/mm]
Dies kann man nun in unsere anfängliche Formel einsetzen (II in I) und erhält:
[mm]e^{x*ln(a)}=a^{x}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]a^{x}=e^{x*ln(a)}[/mm]
Fertig. 
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 19.06.2007 | | Autor: | backett |
Huhu Tommy,
danke für die Erklärung :P
Sie hilft mir sehr, nur eine Frage noch am Rand. Wie kommstu auf deinen Ansatz ?
Bei mir in der Endformel steht ja nix von einem C oder so. Deswegen wüsste ich auch nicht, wie ich z.b. in der Klausur auf deinen Ansatz kommen sollte, denn der ist ja das schwierigste.. =)
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Hallo Denis!
Verwende hier die Eigenschaft, dass [mm] $e^x$ [/mm] und [mm] $\ln(x)$ [/mm] zueinander Umkehrfunktionen sind, sich also gegenseitig aufheben.
Damit gilt: [mm] $\red{a}^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \red{e^{\ln(a)}} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$
[/mm]
Im letzten Schritt wurde eines der  Potenzgesetze mit [mm] $\left(a^m\right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$ [/mm] angewandt.
Gruß vom
Roadrunner
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