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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Masaky |
| Aufgabe | Drücke durch einen einzigen Logarithmus aus:
1/2 lg (p²+q²) - 3/2 lg(2pq) |
Moin,
noch eine Aufgabe für die ich zu doof bin
Aber wäre nett, wenn ihr mir helft, ist echt wichtig ;)
Drücke durch einen einzigen Logarithmus aus:
b.) 1/2 lg (p²+q²) - 3/2 lg(2pq)
Das geht doch irgendwie nicht!
Danke im Vorraus ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du musst die Logarithmus-Gesetze anwenden!
1. [mm] log_{a}\left(b\right) [/mm] + [mm] log_{a}\left(c\right) [/mm] = [mm] log_{a}\left(b*c\right)
[/mm]
2. [mm] log_{a}\left(b\right) [/mm] - [mm] log_{a}\left(c\right) [/mm] = [mm] log_{a}\left(\bruch{b}{c}\right)
[/mm]
3. [mm] log_{a}\left(b^{c}\right) [/mm] = [mm] c*log_{a}\left(b\right)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\lg\left(p^{2}+q^{2}\right) [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}*\lg\left(2pq\right)
[/mm]
Damit wir die Logarithmen zusammenfassen können, muss eines der beiden Dinge erfüllt sein:
1. Beide Logarithmen haben denselben Koeffzienten vor sich stehen, also z.B.
[mm] e*\lg\left(a\right)-e*\lg\left(b\right)
[/mm]
Dann könnten wir diesen ausklammern und dem zweiten Logarithmus-Gesetz steht nichts mehr im Wege:
[mm] =e*\left(\lg\left(a\right)-\lg\left(b\right)\right)
[/mm]
[mm] =e*\lg\left(\bruch{a}{b}\right)
[/mm]
2. Beide Logarithmen haben denselben "Inhalt", das Argument ist gleich, also z:B.
[mm] a*\lg\left(e\right)-b*\lg\left(e\right)
[/mm]
Dann können wir sie zusammenfassen, indem wir die beiden Koeffizienten davor voneinander abziehen (Wir klammern praktisch [mm] \lg\left(e\right) [/mm] aus):
[mm] =\left(a-b\right)*\ln\left(e\right)
[/mm]
Bei deiner Beispielaufgabe ist zunächst keins von beiden erfüllt. Wenden wir jedoch das dritte Logarithmus-Gesetz auf beide Logarithmen an, erhalten wir Fall 1:
[mm] \bruch{1}{2}*\lg\left(p^{2}+q^{2}\right) [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}*\lg\left(2pq\right)
[/mm]
= [mm] \lg\left(\left(p^{2}+q^{2}\right)^{\bruch{1}{2}}\right) [/mm] - [mm] \lg\left(\left(2pq\right)^{\bruch{3}{2}}\right)
[/mm]
Nun können wir Vereinfachung Fall 1 anwenden:
= [mm] \lg\left(\bruch{\left(p^{2}+q^{2}\right)^{\bruch{1}{2}}}{\left(2pq\right)^{\bruch{3}{2}}}\right)
[/mm]
Eine zweite Möglichkeit (die natürlich auf dasselbe hinausläuft):
Wir fassen den zweiten Koeffzienten als [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*3 [/mm] auf und bringen nur die 3 in den Logarithmus (mit Hilfe des 3. Logarithmus-Gesetzes)
[mm] \bruch{1}{2}*\lg\left(p^{2}+q^{2}\right) [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}*\lg\left(2pq\right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\lg\left(p^{2}+q^{2}\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*3*\lg\left(2pq\right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\lg\left(p^{2}+q^{2}\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*\lg\left(\left(2pq\right)^{3}\right)
[/mm]
Nun können wir ebenfalls Fall 1 anwenden:
= [mm] \bruch{1}{2}*\left(\lg\left(p^{2}+q^{2}\right) - \lg\left(\left(2pq\right)^{3}\right)\right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\left(\lg\left(\bruch{p^{2}+q^{2}}{\left(2pq\right)^{3}\right)}\right)
[/mm]
Falls alles in den Logarithmus soll, nun noch das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] mit Hilfe des 3. Logarithmus-Gesetzes in den Logarithmus rein:
= [mm] \lg\left(\left(\bruch{p^{2}+q^{2}}{\left(2pq\right)^{3}}\right)^{\bruch{1}{2}}\right)
[/mm]
Die Ausdrücke in den Logarithmen kann man noch vereinfachen, aber das überlasse ich dir 
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