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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Logarithmieren
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Logarithmieren: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Do 19.05.2005
Autor: Richy

Kann mir mal bitte jemand den Therm:

[mm] log3\wurzel{a}+log3\wurzel\bruch{b³}{a}-3log3\wurzel{9b} [/mm]

vorrechnen?

Ich bekomm da als ergebnis 1 raus. Aber die Lösung sagt da kommt -3 raus.


        
Bezug
Logarithmieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Do 19.05.2005
Autor: Julius

Hallo Richy!

> Kann mir mal bitte jemand den Therm:
>  
> [mm]log3\wurzel{a}+log3\wurzel\bruch{b³}{a}-3log3\wurzel{9b}[/mm]
>  
> vorrechnen?
>  
> Ich bekomm da als ergebnis 1 raus. Aber die Lösung sagt da
> kommt -3 raus.

Ich probiere es mal:

[mm] $\log_3(\sqrt{a}) [/mm] + [mm] \log_3 \left(\sqrt{\frac{b^3}{a}} \right) [/mm] - 3 [mm] \log_3(\sqrt{9b})$ [/mm]

$= [mm] \log_3(\sqrt{a}) [/mm] + [mm] \log_3 \left(\sqrt{\frac{b^3}{a}} \right) \red{+} \log_3 \left( \sqrt{9b}^{-3} \right)$ [/mm]

$= [mm] \log_3 \left( \sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{b^3}{a}} \cdot \frac{1}{\sqrt{9b}^3} \right)$ [/mm]

$= [mm] \log_3 \left( \sqrt{ \frac{a \cdot b^3}{a \cdot 9^3 \cdot b^3}} \right)$ [/mm]

$= [mm] \log_3 \left( \frac{1}{\sqrt{9}^3} \right)$ [/mm]

$= [mm] \log_3 \left(3^{-3} \right)$ [/mm]

$=-3$.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Logarithmieren: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Do 19.05.2005
Autor: Richy

Danke erstmal

Heißt das dann dass wenn ich die Zahl vor dem log nach hinten zieh, das Vorzeichen mitnehmen muss? Und wenn ein Minus da stand, danach ein Plus ist?

Bezug
                        
Bezug
Logarithmieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Do 19.05.2005
Autor: Fugre


> Danke erstmal
>  
> Heißt das dann dass wenn ich die Zahl vor dem log nach
> hinten zieh, das Vorzeichen mitnehmen muss? Und wenn ein
> Minus da stand, danach ein Plus ist?

Hallo Richy,

ich glaube, dass deine Frage nicht ganz verstanden wird.
Ich vermute, dass du dich auf die Umkehr hiervon beziehst:
$ = [mm] \log_3 \left(3^{-3} \right) [/mm] $
Den Ausdruck kannst du beliebig umformen:
$= [mm] -3*\log_{3}3$ [/mm]
[mm] $=-\log_{3}3^3$ [/mm]
[mm] $=\log_{3}3^{-3}$ [/mm]

Beantwortet dies deine Frage?

Liebe Grüße
Fugre


Bezug
        
Bezug
Logarithmieren: Neuer Therm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Do 19.05.2005
Autor: Richy

Das oben hab ich dann ja geblickt aber jetz versteh ichs echt nich mehr, bitte rechne mir mal noch den Therm vor und dazu bitte sagen was du machst.

[mm] log_a(\bruch{a}{b})^{2}+log_{a}a^{b}+4\log_{a}\wurzel{b}-\bruch{\log_{10}a³}{\log_{10}a} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Logarithmieren: Neuer TERM
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Do 19.05.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Richy,

> [mm][/mm]
>  

Ein paar grundsätzliche Regeln zuvor:

(1) r*log(a) = [mm] log(a^{r}) [/mm]

(2) log(a) + log (b) = log(a*b)

(3) log(a) - log(b) = [mm] log(\bruch{a}{b}) [/mm]

(4) [mm] log_{a}(b) [/mm] = [mm] \bruch{log_{c}(b)}{log_{c}(a)} [/mm]

(5) log(1) = 0

(6) [mm] log_{a}(a) [/mm] = 1


Nun zu Deinem Term (ohne "h"!):

[mm] log_a(\bruch{a}{b})^{2}+log_{a}a^{b}+4\log_{a}\wurzel{b}-\bruch{\log_{10}a³}{\log_{10}a} [/mm]

1. Schritt: Mit Hilfe "meiner" Regel (4) können wir den letzten Summanden in den [mm] log_{a} [/mm] verwandeln:

[mm] \bruch{\log_{10}(a³)}{\log_{10}(a)} [/mm] = [mm] log_{a}(a^{3}) [/mm]

Daher lautet Dein Term jetzt:

[mm] log_a(\bruch{a}{b})^{2}+log_{a}a^{b}+4\log_{a}\wurzel{b}-log_{a}(a^{3}) [/mm]

2.Schritt: Die 4 vor dem 3.Summanden wird mit Regel (1) in den log hineingezogen:

[mm] 4\log_{a}(\wurzel{b}) [/mm] =  [mm] log_{a}((\wurzel{b})^{4}) [/mm] = [mm] log_{a}(b^{2}) [/mm]

3.Schritt: Nun geht's weiter wie Du's schon kennst (Regeln (2) und (3)):

[mm] log_{a}(\bruch{\bruch{a}{b})^{2}*a^{b}*b^{2}}{a^{3}}) [/mm] =

= [mm] log_{a}(\bruch{a^{2}*a^{b}*b^{2}}{b^{2}*a^{3}}) [/mm]

=  [mm] log_{a}(\bruch{a^{b}}{a}) [/mm]   (Hier wurde durch [mm] a^{2} [/mm] und durch [mm] b^{2} [/mm] gekürzt!)

= [mm] log_{a}(a^{b-1}) [/mm]    (Verwendung der Potenzgesetze)

= [mm] (b-1)*log_{a}(a) [/mm]     (Verwendung der Regel (1) von oben!)

= b - 1  (Verwendung der Regel (6) von oben!)

PS: Das alles gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, dass a > 0 und auch b > 0 ist!




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