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Forum "Schul-Analysis" - Logarithmus-Funktion
Logarithmus-Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Logarithmus-Funktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Fr 11.02.2005
Autor: MandyJ

Guten Morgen,
Ich habe zu folgender Funktion noch 3 Aufgaben zu lösen: f(x)=x*(ln(x²)-1)

1. Aufgabe: Bilden der ersten beiden Ableitungen
                   (Stimmt f'(x)=1/x²  ???)
2. Aufgabe: Unter welchem Winkel schneidet der Graph die x-Achse?
                    (Stimmt 69,4°  ???)
3. Aufgabe: Wie groß ist der Schnittwinkel der Grenztangente für x gegen          Null von f mit der x-Achse?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Logarithmus-Funktion: Korrektur + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:30 Fr 11.02.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Mandy,

[willkommenmr] !!


> f(x)=x*(ln(x²)-1)
>  
> 1. Aufgabe:
> Bilden der ersten beiden Ableitungen
>                     (Stimmt f'(x)=1/x²  ???)

[notok]
Formen wir Deine Funktion zunächst etwas um (ausmultiplizieren und MBLogarithmusgesetz [mm] $\log_b \left( a^m\right) [/mm] \ = \ m * [mm] \log_b [/mm] (a)$ anwenden):

$f(x) \ = \ x * [mm] \left[ \ln \left( x^2 \right) - 1\right]$ [/mm]
$f(x) \ = \ x * [mm] \left[ 2 * \ln (x) - 1\right]$ [/mm]
$f(x) \ = \ 2x * [mm] \ln [/mm] (x) - x$

Dies' mußt Du nun mit der MBProduktregel ableiten ...



> 2. Aufgabe:
> Unter welchem Winkel schneidet der Graph die x-Achse?
>                      (Stimmt 69,4°  ???)

[notok]
Da die 1. Ableitung nicht richtig ist, stimmt dieser Wert auch nicht ...

An welche Stelle [mm] $x_N$ [/mm] hast Du denn diesen Wert ermittelt?


> 3. Aufgabe:
> Wie groß ist der Schnittwinkel der Grenztangente für x gegen
> Null von f mit der x-Achse?

Auch hierfür benötigen wir erst die (korrekte) 1. Ableitung und müssen dann eine Grenzwertbetrachtung für [mm] $tan(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f'(x)$ machen.


Kommst Du nun etwas weiter?

Melde Dich doch nochmal mit Deinen Ergebnissen ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Logarithmus-Funktion: Frage zur Antwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Fr 11.02.2005
Autor: MandyJ

Guten Morgen, Loddar,

danke für die Antwort. Ich lag ja mal wieder völlig daneben, seufz.

Für die 1. Ableitung hab ich jetzt folgendes Ergebnis: f'(x)=-2*(1+x*ln x).

Ehrlich gesagt, weiß ich jetzt schon wieder nicht mehr weiter. Wie komme ich denn jetzt an diesen verflixten Winkel?

verzweifelte Grüße,
Mandy
Bezug
                        
Bezug
Logarithmus-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:14 Fr 11.02.2005
Autor: Youri

Hallo, liebe Mandy!

> danke für die Antwort. Ich lag ja mal wieder völlig
> daneben, seufz.

Nun lass mal den Kopf nicht hängen ;-)
  
> Für die 1. Ableitung hab ich jetzt folgendes Ergebnis:
> f'(x)=-2*(1+x*ln x).

[notok]

Mal sehen -
Loddar hatte ja den Funktionsterm umgeformt - bist Du davon ausgegangen zur Berechnung Deiner Ableitung?

$ f(x) \ = \ 2x * [mm] \ln [/mm] (x) - x $

Wenn Du der Reihe nach vorgehst, musst Du für die Ableitung des ersten Summandens die Produktregel anwenden, und den zweiten Summanden abgeleitet anhängen...

[mm]f'(x)=(2*x)' *\ln (x) + (2*x)*(\ln(x))' - (x)'[/mm]

Ich hab das jetzt erstmal ganz ausführlich aufgeschrieben.
So jetzt leiten wir mal langsam ab...

[mm] f'(x)= 2* \ln (x) + 2*x*\bruch{1}{x} - 1 [/mm]
[mm]f'(x)= 2*\ln (x) + 2 - 1 [/mm]
[mm]f'(x)= 2*\ln (x) + 1 [/mm]

Das sollte jetzt die korrekte Ableitung sein.
  
So - Deinen Schnittwinkel berechnest Du nun mit dem Tangens -

Du musst den Schnittpunkt [mm] (x_0;0) [/mm] der Funktion mit der x-Achse berechnen, und in diesem Punkt die Steigung berechnen.

Dann gilt folgende Gleichung:
[mm]\tan \alpha = f'(x_0) [/mm]
Und dann nach alpha umstellen.

Wenn Du noch ein bisschen mehr über diese Winkelberechnung wissen willst, schau doch mal bei Wikipedia unter []Schnittwinkel/Steigungswinkel

Kommst Du klar?

Viel Erfolg und lieben Gruß,
Andrea.
Bezug
                                
Bezug
Logarithmus-Funktion: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Fr 11.02.2005
Autor: MandyJ

Hallo liebe Andrea,

vielen Dank. Jetzt hab ich es endlich kapiert.  Wenn man den Lösungsweg vor sich hat, erscheint es sogar logisch für jemanden wie mich. Dankeschön!!!!

Liebe Grüße,
Mandy
Bezug
                                        
Bezug
Logarithmus-Funktion: Sehr gerne!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Fr 11.02.2005
Autor: Youri

Liebe Mandy!
  
> vielen Dank. Jetzt hab ich es endlich kapiert.  Wenn man
> den Lösungsweg vor sich hat, erscheint es sogar logisch für
> jemanden wie mich. Dankeschön!!!!

Sehr gerne.
Aber Du solltest Dein Licht nicht so unter den Scheffel stellen -
schließlich konntest Du doch heute selbst schon jemandem helfen [super] - und da hast Du doch keine Musterlösung angewandt, sondern Dir die Lösung selbst überlegt.

Finde ich wirklich toll!

Du lebst den Matheraum [huepf] - weiter so!

Lieben Gruß,
Andrea.

Bezug
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