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Logarithmus-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 So 05.02.2012
Autor: pc_doctor

Hallo , ich hänge an dieser Aufgabe irgendwie seit Tagen..
Eine Hilfe wurde mir angeboten , aber ich komme einfach nicht weiter.

Ich muss einen x-Wert von zwei Funktionen ausrechnen , die an dieser Stelle x die gleiche Steigung haben , also werden jeweils die ersten Ableitungen gleichgesetzt.

Ich habe es auch zeichnen lassen , mit einem Funktionsplotter , ich sehe zwar den Schnittpunkt , aber ich will es rechnerisch beweisen.

Ich habe noch nicht die Logarithmusgesetze drauf , das Thema hatten wir noch nicht , aber ich sollte glaube ich in der Lage sein , sowas zu lösen..

Also genug geschrieben :D :)

Hier ist die Aufgabe :

[mm] e^x [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x} [/mm]

x * ln(e) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *x * ln( [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] e)

x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x * 0,30685

Und jetzt ? Ist das bis hierhin überhaupt richtig ?

Danke schon im Voraus.

        
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Logarithmus-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 So 05.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

auf der rechten Seite hast du beim Logarithmieren einen Fehler gemacht.

Es muss zunächst

[mm] ln\left(\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}x}\right) [/mm]

heißen, was du nun sukzessive durch Anwendung der Gesetze

log(a*b)=log(a)+log(b)
log(a/b)=log(a)-log(b)
[mm] log(a^b)=b*log(a) [/mm]

vereinfachen solltest.

Gruß, Diophant

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Logarithmus-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 So 05.02.2012
Autor: pc_doctor

Warum ist das so ?

Ich mache es bei [mm] e^x [/mm] ja auch nicht anders , oder ?

Ich nehme das x nach vorne und logarithmiere dann die eulersche Zahl.

Warum muss man das da anders machen ? Weil das ein Produkt ist ?

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Logarithmus-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 So 05.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

auf der linken Seite hast du ja einfach die Umkehrfunktion angewendet. Auf der rechten Seite ist genau das

> Warum muss man das da anders machen ? Weil das ein Produkt
> ist ?

zu beachten. :-)

Gruß, Diophant  


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Logarithmus-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 So 05.02.2012
Autor: pc_doctor

Achso okay , also dann versuche ich es mal :

$ [mm] e^x [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x} [/mm] $


x * ln (e) = [mm] ln(\bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x}) [/mm]

x = [mm] ln(\bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] ln(e^{\bruch{1}{2}x}) [/mm]

x = ln(1) - ln (2) + [mm] \bruch{1}{2}x* [/mm] ln(e)


Ist das richtig ?

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Logarithmus-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 So 05.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Ist das richtig ?

Ja, das ist bis dahin richtig. Jetzt bedenke ln(1)=0 und ln(e)=1 zur weiteren Vereinfachung.

Gruß, Diophant


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Logarithmus-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 So 05.02.2012
Autor: pc_doctor

x = ln(1) - ln (2) + $ [mm] \bruch{1}{2}x\cdot{} [/mm] $ ln(e)

x = -ln(2) + [mm] \bruch{1}{2}x [/mm]


Das x kann ich nicht rübernehmen , denn dann habe ich kein x mehr. Wie kann ich jetzt das "elegant" lösen ?


Edit :

Kurz überlegt :

ln(2) + x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x

ln(2) = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - x

ln(2) = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{2x}{2} [/mm]

ln(2) = [mm] \bruch{-x}{2} [/mm]

ln(2) * 2 = -x

-(ln(2) *2) = x

So richtig ?

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Logarithmus-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 05.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

weshalb nicht [mm] -\bruch{1}{2}x [/mm] ? :-)

Gruß, Diophant

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Logarithmus-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 05.02.2012
Autor: pc_doctor

Entschuldigung , aber wo denn jetzt :S

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Logarithmus-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 So 05.02.2012
Autor: Diophant

Hi,

> Entschuldigung , aber wo denn jetzt :S

auf beiden Seiten, wie bei jeder Gleichungsumformung. :-)

Gruß, Diophant


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Logarithmus-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 So 05.02.2012
Autor: pc_doctor

x = ln(1) - ln (2) + $ [mm] \bruch{1}{2}x\cdot{} [/mm] $ ln(e)

x = -ln(2) + $ [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] $


ln(2) + x = $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ x

ln(2) = $ [mm] \bruch{x}{2} [/mm] $ - x

ln(2) = $ [mm] \bruch{x}{2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{2x}{2} [/mm] $

ln(2) = $ [mm] \bruch{-x}{2} [/mm] $

ln(2) * 2 = -x

-(ln(2) *2) = x

x = -1,38

Diesen Wert kann ich auch aus der Zeichnung entnehmen..

Blicke grad nicht durch , wo der Fehler sein soll


Bezug
                                                                                        
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Logarithmus-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 So 05.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Blicke grad nicht durch , wo der Fehler sein soll

ich auch nicht: denn jetzt ist es richtig. Man könnte höchstens noch kritisch anmerken, dass man da schneller hinkommen kann:

[mm]e^x=\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}x}[/mm]

[mm]x=ln\left(\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}x}\right)[/mm]

[mm]x=ln\left(\bruch{1}{2}\right)+\bruch{1}{2}x[/mm]

[mm]x=-ln(2)+\bruch{1}{2}x[/mm]

[mm]\bruch{1}{2}x=-ln(2)[/mm]

[mm]x=-2*ln(2)[/mm]

Und schon diese Version ist sehr ausführlich geschrieben. :-)

Gruß, Diophant    


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Logarithmus-Problem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 So 05.02.2012
Autor: pc_doctor

Das lag daran , dass ich erst die Antwort geschrieben hatte und mir dann der Gedankenblitz kam und ich die Antwort dann bearbeitet hatte.

Kleines Kommunikationsproblem , aber vielen Dank für deine ausführliche Hilfe.


Schönen Sonntag noch :D

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