Logarithmus Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:24 Sa 12.11.2016 | | Autor: | Kaidan |
| Aufgabe 1 | | Sei [mm] $\alpha>0$ [/mm] eine positive Zah. Zeigen Sie, dass eine Konstante [mm] $C_{\alpha}>0$ [/mm] existiert mit $ log(x) [mm] \le C_{\alpha}x^{\alpha}$ [/mm] für alle $x>0$ |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass für alle [mm] \beta>0 [/mm] gilt, dass [mm] \lim_{x\to\infty} \frac{log(x)}{x^{\beta}}=0 [/mm] |
Tag zusammen, bin neu hier und hoffe ich habe das richtige Unterforum erwischt. Die beiden Aufgaben stehen oben und weiter gibt es noch einen Tipp und zwar:
Schreiben Sie x = exp(y) für y [mm] \in \mathbb{R} [/mm] und unterscheiden Sie die Fälle y < 0 und y [mm] \ge [/mm] 0. Verwenden Sie weiters (1 + [mm] \frac{y}{n})^n \le [/mm] exp(y) für y [mm] \ge [/mm] 0.
Ich muss ehrlich sagen, die Aufgabe macht mir ziemlich zu schaffen...
Wir haben in der Vorlesung den Log folgendermassen definiert: [mm] $x^a=exp(a\cdot \log(x))$. [/mm] Fertig. Der Prof. hat nichts dazu gesagt und auch sonst steht herzlich wenig im Skript...
Ich weiss ehrlich gesagt auch nicht so recht wie hier beginnen, und vor allem kann ich auch nicht wirklich etwas mit der Def. anfangen bzw. sie einsetzen
mfg Kaidan
P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]\alpha>0[/mm] eine positive Zah. Zeigen Sie, dass eine
> Konstante [mm]C_{\alpha}>0[/mm] existiert mit [mm]log(x) \le C_{\alpha}x^{\alpha}[/mm]
> für alle [mm]x>0[/mm]
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]\beta>0[/mm] gilt, dass
> [mm]\lim_{x\to\infty} \frac{log(x)}{x^{\beta}}=0[/mm]
> Tag zusammen,
> bin neu hier und hoffe ich habe das richtige Unterforum
> erwischt. Die beiden Aufgaben stehen oben und weiter gibt
> es noch einen Tipp und zwar:
>
> Schreiben Sie x = exp(y) für y [mm]\in \mathbb{R}[/mm] und
> unterscheiden Sie die Fälle y < 0 und y [mm]\ge[/mm] 0. Verwenden
> Sie weiters (1 + [mm]\frac{y}{n})^n \le[/mm] exp(y) für y [mm]\ge[/mm] 0.
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> Ich muss ehrlich sagen, die Aufgabe macht mir ziemlich zu
> schaffen...
> Wir haben in der Vorlesung den Log folgendermassen
> definiert: [mm]x^a=exp(a\cdot \log(x))[/mm]. Fertig. Der Prof. hat
> nichts dazu gesagt und auch sonst steht herzlich wenig im
> Skript...
Was du wissen solltest, bevor wir anfangen:
Eigentlich ist das die Definition von [mm] x^a. [/mm] Man kann ja gar nicht sagen, was z.B. [mm] 6,123^{\wurzel{3}} [/mm] sein soll. (Wie will ich eine Zahl [mm] \wurzel3-mal [/mm] mit sich selber multiplizieren?)
Deshalb geht man folgendermaßen vor:
Zunächst mal definiert man [mm] exp(x)=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^i}{i!} [/mm] und zeigt, dass die Summe für alle reellen Zahlen x konvergiert.
Dann beweist man, dass für alle x und y gilt: exp(x+y)=exp(x)*exp(y).
Weil klar ist, dass für positive Werte von x exp(x) ebenfalls positiv ist, kann man folgern:
1=exp(0)=exp(x+(-x))=exp(x)*exp(-x) [mm] \Rightarrow
[/mm]
exp(-x)=1/exp(x) ist ebenfalls positiv.
Da klar ist, dass für positive Werte exp monoton ansteigt und bis [mm] \infty [/mm] geht, folgt, dass exp(-x) positiv bleibt, aber nach 0 für x nach [mm] -\infty [/mm] geht.
Insgesamt ist exp monoton steigend von 0 bei [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] bei [mm] \infty. [/mm]
Dann nennt man e=exp(1) und zeigt, dass man für exp(x) auch [mm] e^x [/mm] schreiben kann, da [*] genau den Potenzgesetzen entspricht und [mm] exp(0)=1=e^0 [/mm] ist.
Nun definiert man ln(x) als Umkehrfunktion zu exp (auf manchen Rechner log, aber ln ist klarer: Logarithmus naturalis, natürlicher Logarithmus zur Basis e):
[mm] \fbox{y=ln(x) ist diejenige Zahl, bei der e^{y}\ den\ Wert\ x\ ergibt.}
[/mm]
Also y = ln(x) [mm] \gdw e^y [/mm] = x.
Da [mm] e^y [/mm] immer positiv ist, darf auch x nur positiv sein. Also kann man ln nur auf positive Zahlen anwenden. Da exp Werte von 0 bis [mm] \infty [/mm] erzeugt und monoton steigend ist, findet man für jedes x genau einen solchen Wert y.
exp und ln bzw. ln und exp heben sich gegenseitig auf, also:
[mm] e^{ln(x)} [/mm] = x sowie [mm] ln(e^x) [/mm] = x.
Für exp gelten die Potenzgesetze.
ln(x*y) = ln(x) + ln(y) sowie ln(x/y) = ln(x) + ln(y).
exp und ln sind monoton steigend.
Nun definiert man [mm] x^\alpha:
[/mm]
x = exp(ln(x)) [mm] \Rightarrow x^{\alpha} [/mm] = [mm] exp(ln(x))^{\alpha} [/mm] = [mm] (e^{ln(x)})^{\alpha} =e^{ln(x)*\alpha} [/mm] (Potenzgesetz).
Das kann man nun in die Summenformel oben einsetzen und ausrechnen. mit anderen Worten: Wenn du in deinen Taschenrechner [mm] 6,123^{\wurzel{3}} [/mm] eingibst, berechnet dieser zunächst ln(6,123) über eine unendliche Reihe, die er aber nach ca. 30 Schritten abbricht, dann [mm] \wurzel{3} [/mm] mit einem Verfahren, das ebenfalls nach ca. 10 Schritten abbricht, dann multipliziert er beide Werte und setzt das Ergebnis in die obige Summe ein, die er dann auch nach vielleicht 30 Schritten abbricht.
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> Ich weiss ehrlich gesagt auch nicht so recht wie hier
> beginnen, und vor allem kann ich auch nicht wirklich etwas
> mit der Def. anfangen bzw. sie einsetzen
>
> mfg Kaidan
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> P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zeigen Sie, dass eine Konstante [mm]C_{\alpha}>0[/mm] existiert mit [mm]log(x) \le C_{\alpha}x^{\alpha}[/mm] für alle [mm]x>0[/mm].
Es gibt für x>0 ein y mit [mm] x=e^y. [/mm] Dann gilt
log(x) [mm] \le C_{\alpha}x^{\alpha}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] log(exp(y))) [mm] \le C_{\alpha}exp(y)^{\alpha}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \le C_{\alpha}(e^y)^{\alpha}= C_{\alpha}(e^{y*\alpha}).
[/mm]
Die rechte Seite der Gleichung ist für beliebiges [mm] C_{\alpha}>0 [/mm] immer positiv. Für [mm] x\le [/mm] 1 ist y=ln(x) negativ (linke Seite). Also stimmt die Gleichung schon mal für [mm] x\le [/mm] 1.
Für x>1 ist y=ln(x)>0.
Wähle nun [mm] C_{\alpha}=1/\alpha [/mm] > 0.
Dann ist [mm] C_{\alpha}*\alpha [/mm] = 1
[mm] C_{\alpha}*\alpha*y [/mm] = y
[mm] C_{\alpha}*(1+\alpha*y [/mm] )> [mm] C_{\alpha}*\alpha*y [/mm] = y
[mm] C_{\alpha}*e^{\alpha*y} [/mm] > [mm] C_{\alpha}*(1+\alpha*y [/mm] )> [mm] C_{\alpha}*\alpha*y [/mm] = y
(Tipp vom Prof mit n=1)
Und das entspricht der gesuchten Ungleichung.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 So 13.11.2016 | | Autor: | Kaidan |
Zuerst einmal Danke für die Antwort!
Wir haben in der Vorlesung die Exponentialfunktion als Grenzwert der Folge [mm] $\big(1+ \frac{x}{n}\big)^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] definiert.
Das ändert aber hoffe ich nicht sehr viel am grundsätzlichen Lösungsansatz für die Aufgaben. Wir haben dann natürlich noch für diese Def. die Konvergenz, strenge Monotonie, Beschränktheit, Stetigkeit und Surjektivität der Folge bewiesen, und in einem letzten Schritt noch die Euler-Zahl eingeführt.
Ich nehme an die Def. für den Ln ist dann immer noch dieselbe, sprich:
[mm] $y=\ln(x) \gdw e^y=x$
[/mm]
Bei einem Schritt in deiner Erklärung bin ich mir nicht ganz sicher ob ich ihn wirklich verstanden habe. $ [mm] exp(ln(x))^{\alpha} [/mm] $ = $ [mm] (e^{ln(x)})^{\alpha}$. [/mm] Wie kommst du genau auf diese Aussagen... Ich weiss dass [mm] $e^{ln(x)}=x$ [/mm] entspricht, aber ich weiss die Begründung nicht mehr...
Ich bekomme langsam das Gefühl nicht wirklich verstanden zu haben wie die Exponentialfunktion definiert ist...
In deiner Lösung von der Aufgabe machst du einen Schritt den ich nicht nachvollziehen kann:
Aus $ [mm] C_{\alpha} exp(y)^{\alpha}$ [/mm] wird [mm] $C_{\alpha}(e^y)^{\alpha}$. [/mm] Kannst du das bitte ein bisschen ausführen?
Meine beiden Fragen sind ja im Grunde dieselben, da ich bei beiden den gleichen Schritt nicht verstehe...
btw. wo genau finde ich hier die Zitier-Funktion?
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> Zuerst einmal Danke für die Antwort!
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> Wir haben in der Vorlesung die Exponentialfunktion als
> Grenzwert der Folge [mm]\big(1+ \frac{x}{n}\big)^n[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] definiert.
>
> Das ändert aber hoffe ich nicht sehr viel am
> grundsätzlichen Lösungsansatz für die Aufgaben. Wir
> haben dann natürlich noch für diese Def. die Konvergenz,
> strenge Monotonie, Beschränktheit, Stetigkeit und
> Surjektivität der Folge bewiesen, und in einem letzten
> Schritt noch die Euler-Zahl eingeführt.
>
> Ich nehme an die Def. für den Ln ist dann immer noch
> dieselbe, sprich:
> [mm]y=\ln(x) \gdw e^y=x[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei einem Schritt in deiner Erklärung bin ich mir nicht
> ganz sicher ob ich ihn wirklich verstanden habe.
> [mm]exp(ln(x))^{\alpha}[/mm] = [mm](e^{ln(x)})^{\alpha}[/mm]. Wie kommst du
> genau auf diese Aussagen... Ich weiss dass [mm]e^{ln(x)}=x[/mm]
> entspricht, aber ich weiss die Begründung nicht mehr...
ln und exp sind Umkehrfunktionen, das heißt
exp(x)=y [mm] \gdw [/mm] x=ln(y). Deshalb gilt sowohl x=exp(ln(x)) als auch x = ln(exp(x)), weil eben der ln so definiert ist.
Da man für exp auch "e hoch ..." schreiben kann, kann man $ [mm] exp(ln(x))^{\alpha} [/mm] $ = $ [mm] (e^{ln(x)})^{\alpha} [/mm] $
schreiben. Das liegt daran, dass für exp die selben Gesetze für die Multiplikation gelten, wie für eine Potenz. Diese Schreibweise mit e hoch... ist einfacher und vertrauter, weil man dann eher die Potenzregeln erkennen und anwenden kann. Wenn ihr das aber noch nicht hattet, musst du dich mit [mm] x^\alpha [/mm] = [mm] exp(\alpha*ln(x)) [/mm] begnügen und versuchen, meinen Beweis mal darauf umzustricken...
> Ich bekomme langsam das Gefühl nicht wirklich verstanden
> zu haben wie die Exponentialfunktion definiert ist...
> In deiner Lösung von der Aufgabe machst du einen Schritt
> den ich nicht nachvollziehen kann:
> Aus [mm]C_{\alpha} exp(y)^{\alpha}[/mm] wird
> [mm]C_{\alpha}(e^y)^{\alpha}[/mm]. Kannst du das bitte ein bisschen
> ausführen?
wie oben gesagt: Stattt exp(y) kann man auch [mm] e^y [/mm] schreiben und die Potenzgesetze benutzen, oder man benutzt z.B.
[mm] C_{\alpha} exp(y)^{\alpha}=C_{\alpha} x^{\alpha}=C_{\alpha} exp({\alpha}*ln(x)) [/mm] und arbeitet damit. Dann geht der Beweis so:
Es gibt für x>0 ein y mit $ x=exp(y). $ Dann gilt
log(x) $ [mm] \le C_{\alpha}x^{\alpha} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ y $ [mm] \le C_{\alpha}exp(\alpha*ln(x)) [/mm] = [mm] C_{\alpha}exp(\alpha*y) [/mm] $
Der Rest geht genau so weiter, wie in meiner früheren Berechnung, nur dass du exp statt e hoch ... schreiben musst.
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> Meine beiden Fragen sind ja im Grunde dieselben, da ich bei
> beiden den gleichen Schritt nicht verstehe...
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> btw. wo genau finde ich hier die Zitier-Funktion?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:28 Do 17.11.2016 | | Autor: | Kaidan |
Zuerst wieder ein Danke für die Erklärungen. Ich habe jetzt den Bew. einmal mit der $exp(x)$-Schreibweise durchgeführt, da wir bis jetzt noch an keiner Stelle das [mm] $e^x$ [/mm] als solches eingeführt haben.
Aufgabenteil a) scheint mir deutlich schwerer als Aufgabenteil b).. Nichtsdestotrotz habe ich auch bei diesem ziemlich Mühe..
Dass Ziel ist es ja [mm] $\forall \beta [/mm] >0$ zu zeigen, dass der [mm] $\lim_{x\to\infty} \frac{log(x)}{x^{\beta}}=0$ [/mm] strebt. Wenn ich dass richtig verstanden habe soll man nun, die in a) gewonnene Erkenntnis einsetzten um b) zu zeigen.
Mein erster Ansatz wäre es jetzt [mm] $\big|\frac{log(x)}{x^{\beta}}\big|<\epsilon$ [/mm] zu betrachten und dann versuchen daraus die Konvergenz zu beweisen... Leider bin ich nach mehrmaligem Versuch immer noch nicht zu einer Vernünftigen Umformung gekommen um dies zu zeigen..
Irgendwelche Tipps?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 19.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Do 17.11.2016 | | Autor: | Herby |
Hi Kaidan,
und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> btw. wo genau finde ich hier die Zitier-Funktion?
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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