Logarithmus: glm. Konvergenz < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mo 08.12.2014 | | Autor: | Fenistil |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
sei [mm]S_n(z,z)=\sum_{j=0}^n|z|^{2j}[/mm].
Dann folgt ja aus der endlichen geometrischen Reihe für [mm]|z| \leq 1[/mm], dass [mm]S_n(z,z)=\frac{1-|z|^{2n+2}}{1-|z|^2}[/mm].
Zeige, dass [mm]\frac{1}{2n}\log S_n(z,z)\rightarrow \log^+|z|[/mm] lokal gleichmäßig auf [mm]\mathbb{C}[/mm]. |
So direkt sehe ich das nicht. Ich hätte jetzt die Idee, dass dies durch umformen oder mit der Reihenentwicklung des Logarithmus folgt.
Bei Wikipedia habe ich folgende Reihenentwicklung gefunden:
[mm]\log(1-z)=-\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k} \qquad |z|\le 1 \, , \, z\neq 1[/mm].
Wenn man für z nun [mm]|z|^{2n+2}[/mm] bzw [mm]|z|^2[/mm] einsetzt und den Bruch mit den Logarithmusgesetzen als Differenz schreibt, ergibt sich bei mir:
[mm]-\sum_{k=1}^\infty\frac{|z|^{(2n+2)k}}{k}+\sum_{k=1}^\infty\frac{|z|^{2k}}{k}[/mm].
Dies ist nun eine Art Teleskopsumme, wo sich Teile wegkürzen. Da n aber nicht gegeben ist, weiß ich nicht, wie ich nun allgemein begründen kann, dass dies gegen [mm]\log^+|z|[/mm] konvergiert.
Hat jemand eine Idee??
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt, da es sehr wichtig ist:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1956413#post1956413
http://www.matheplanet.com/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> sei [mm]S_n(z,z)=\sum_{j=0}^n|z|^{2j}[/mm].
> Dann folgt ja aus der endlichen geometrischen Reihe für
> [mm]|z| \leq 1[/mm], dass [mm]S_n(z,z)=\frac{1-|z|^{2n+2}}{1-|z|^2}[/mm].
Achtung ! Das gilt nur für |z| [mm] \ne [/mm] 1 !
Für |z|=1 ist [mm] S_n(z,z)=n+1.
[/mm]
FRED
> Zeige, dass [mm]\frac{1}{2n}\log S_n(z,z)\rightarrow \log^+|z|[/mm]
> lokal gleichmäßig auf [mm]\mathbb{C}[/mm].
> So direkt sehe ich das nicht. Ich hätte jetzt die Idee,
> dass dies durch umformen oder mit der Reihenentwicklung des
> Logarithmus folgt.
> Bei Wikipedia habe ich folgende Reihenentwicklung
> gefunden:
> [mm]\log(1-z)=-\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k} \qquad |z|\le 1 \, , \, z\neq 1[/mm].
>
> Wenn man für z nun [mm]|z|^{2n+2}[/mm] bzw [mm]|z|^2[/mm] einsetzt und den
> Bruch mit den Logarithmusgesetzen als Differenz schreibt,
> ergibt sich bei mir:
>
> [mm]-\sum_{k=1}^\infty\frac{|z|^{(2n+2)k}}{k}+\sum_{k=1}^\infty\frac{|z|^{2k}}{k}[/mm].
> Dies ist nun eine Art Teleskopsumme, wo sich Teile
> wegkürzen. Da n aber nicht gegeben ist, weiß ich nicht,
> wie ich nun allgemein begründen kann, dass dies gegen
> [mm]\log^+|z|[/mm] konvergiert.
> Hat jemand eine Idee??
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt, da es sehr wichtig ist:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1956413#post1956413
> http://www.matheplanet.com/
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Ja, das habe ich dann explizit behandelt, dann ist der Limes von [mm]\frac{1}{2n}\log(n+1)=0[/mm].
Jetzt brauche ich noch, dass sich für [mm]|z|<1[/mm] Null und sonst [mm]log|z|[/mm] ergibt..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 10.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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