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Forum "Folgen und Reihen" - Logarithmus, ln(n)-n
Logarithmus, ln(n)-n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Logarithmus, ln(n)-n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Fr 17.04.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der reellen Folgen:
[mm] f_n [/mm] = [mm] n^3-64n^2 [/mm]
[mm] h_n [/mm] = [mm] \frac{n!}{(2n)!} [/mm]
[mm] g_n [/mm] = ln(n)-n

Hallo,

[mm] f_n= n^2(n-64) [/mm]
[mm] f_n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für  n >64
Daraus folgt [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f_n >\lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty [/mm]
[mm] f_n [/mm] divergiert gegen unendlich


[mm] h_n [/mm] = [mm] \frac{n!}{(2*4*6*..*2n)*(1*3*5*..*(2n-1))}=\frac{n!}{(2*1*2*2*2*3*..*2*n)(1*3*5..*(2n-1))} [/mm] = [mm] \frac{n!}{2^n *n! *(1*3*5..*(2n-1))} [/mm]
[mm] =\frac{1}{2^n *(1*3*5..*(2n-1))} \le \frac{1}{2^n} [/mm]
0< [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h_n <\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2^n} [/mm] =0 [mm] \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} h_n=0 [/mm]

Passt das so?
Habt ihr Tipps für [mm] g_n [/mm] ? Hilft ln(n)/n [mm] \rightarrow 0(n\rightarrow \infty) [/mm] ?

LG,
sissi

        
Bezug
Logarithmus, ln(n)-n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Fr 17.04.2015
Autor: fred97


> Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der reellen Folgen:
>   [mm]f_n[/mm] = [mm]n^3-64n^2[/mm]
>  [mm]h_n[/mm] = [mm]\frac{n!}{(2n)!}[/mm]
> [mm]g_n[/mm] = ln(n)-n
>  Hallo,
>  
> [mm]f_n= n^2(n-64)[/mm]
>  [mm]f_n[/mm] > [mm]n^2[/mm] für  n >64

>  Daraus folgt [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} f_n >\lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty[/mm]

So kannst Du das nicht schreiben. Es ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty [/mm] und

   [mm] f_n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für n> 64.

Also: [mm] f_n [/mm] divergiert gegen unendlich.

Mich stört in

   " [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} f_n >\lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty[/mm]"

das ">" ! Beide Grenzwerte sind gleich, nämlich $= [mm] \infty$ [/mm]



>  
> [mm]f_n[/mm] divergiert gegen unendlich
>  
>
> [mm]h_n[/mm] =
> [mm]\frac{n!}{(2*4*6*..*2n)*(1*3*5*..*(2n-1))}=\frac{n!}{(2*1*2*2*2*3*..*2*n)(1*3*5..*(2n-1))}[/mm]
> = [mm]\frac{n!}{2^n *n! *(1*3*5..*(2n-1))}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2^n *(1*3*5..*(2n-1))} \le \frac{1}{2^n}[/mm]
> 0< [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} h_n <\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2^n}[/mm]
> =0 [mm]\rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} h_n=0[/mm]

Auch hier sind beide"<" falsch ! Denn es ist

   [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h_n =0=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2^n} [/mm]

Einfacher geht das so:

[mm] h_n=\bruch{1*2*...*n}{1*2*...*n*(n+1)*...*(2n)}=\bruch{1}{(n+1)*...*(2n)} [/mm]

Für k [mm] \ge [/mm] 1 ist [mm] \bruch{1}{n+k} \le \bruch{1}{n}, [/mm] also folgt:

  $0 [mm] \le h_n \le \bruch{1}{n^n}$ [/mm]  für alle n.

[mm] (h_n) [/mm] ist also eine Nullfolge.

Bei den obigen Aufgaben hast Du folgenden Fehler gemacht:

sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergente Folgen mit den Grenzwerte $a,b [mm] \in \IR \cup \{\infty\}$ [/mm] und gilt

  [mm] a_n
so folgt i.a. nicht a<b, sondern "nur" a [mm] \le [/mm] b.



>
> Passt das so?
>  Habt ihr Tipps für [mm]g_n[/mm] ? Hilft ln(n)/n [mm]\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)[/mm]

Ja, das hilft. Aus [mm] $\bruch{\ln(n)}{n} \to [/mm] 0$ folgt:

     [mm] $\bruch{\ln(n)}{n} \le \bruch{1}{2}$ [/mm]   für fast alle n.

Damit hast Du:

  [mm] $g_n \le -\bruch{n}{2}$ [/mm]   für fast alle n.

FRED

> ?
>  
> LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Logarithmus, ln(n)-n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Fr 17.04.2015
Autor: sissile

Danke!
Lg,
sissi

Bezug
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