Logarithmus und Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Mafloni |
| Aufgabe | | Fertigen Sie für die Funktion f(x) = [mm] (*2^x [/mm] einen logc/linear-Plot an. erstellen Sie dazu eine Tabelle für X=0,1,2,3,...,8 und bestimmen Sie anschließend den Ordinantenschnitt und die Steigung der Geraden im Plot. |
Hallo zusammen,
in der Uni haben wir jetzt wieder einige Übungsbeispiele bekommen, die wir nach eigenem Ermessen lösen sollen. Leider ist das Thema "Logarithmus und Umkehrfunktion" völliges Neuland und steh deshalb bereits bei einer relativ einfachen Aufgabe auf dem Schlauch.
Nach der vorgegebenen Formel habe ich mal die Tabelle für den "Plot" versucht zu erstellen.
[mm] 8*2^{x}=n
[/mm]
[mm] 8*2^{0}=8
[/mm]
[mm] 8*2^{1}=16
[/mm]
[mm] 8*2^{2}=32
[/mm]
[mm] 8*2^{3}=64
[/mm]
[mm] 8*2^{4}=128
[/mm]
[mm] 8*2^{5}=256
[/mm]
[mm] 8*2^{6}=512
[/mm]
[mm] 8*2^{7}=1024
[/mm]
[mm] 8*2^{8}=2048
[/mm]
Leider hab ich jetzt Probleme, die Werte für die Umkehrfunktion auszurechnen. Vom Mathelehrer weiß ich, dass die ersten Werte der Funktion wie folgt heißen sollen:
x=0 => 2,08
x=1 => 2,77
x=8 => 7,62
Meine bisheriger Versuch für die Umkehrfunktion [mm] 8*2^{x}=n [/mm] sieht wie folgt aus:
[mm] y=8*2^{x}
[/mm]
[mm] x=8*2^{y}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{8}=2^{y}
[/mm]
Ab diesem habe ich leider überhaupt keine Ahnung, wie es weitergehen soll bzw. wie ich die Formel vereinfachen soll. Ein Ansatz wäre
[mm] log2^{\bruch{x}{8}}=log2^{2}
[/mm]
ist aber vermutlich falsch...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Liiebe Grüße
Mafloni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Meine bisheriger Versuch für die Umkehrfunktion [mm]8*2^{x}=n[/mm]
> sieht wie folgt aus:
>
> [mm]y=8*2^{x}[/mm]
>
> [mm]x=8*2^{y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{8}=2^{y}[/mm]
>
Das ist doch alles richtig bis dahin.
> Ab diesem habe ich leider überhaupt keine Ahnung, wie es
> weitergehen soll bzw. wie ich die Formel vereinfachen soll.
> Ein Ansatz wäre
>
> [mm]log2^{\bruch{x}{8}}=log2^{2}[/mm]
Jetzt auf beiden Seiten Logarithmieren:
[mm] log2^y=log\left(\bruch{x}{8}\right)=log(x)-log(8)
[/mm]
Und mit [mm] log\left(a^b\right)=b*log(a) [/mm] solltest du es vollends hinbekommen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Mafloni |
Hallo Diophant,
vielen Dank für deine rasche Antwort.
Leider hab ich jetzt ein anderes Problem:
wie genau kann man log(8) lesen? Soweit ich verstehe, braucht man für einen Logarithmus sowohl eine Basis als auch ein Endergebnis.
Nach etwas Recherche hab ich herausgefunden, dass man bei nicht existierender Basis die eulersche Zahl verwenden soll. Folglich sollte nun von log(8) das ergebnis (also der Exponent) 2,07944 sein.
In die Formel eingesetzt ergibt dies
log(x)-2,07994 = [mm] log(2)^{y}
[/mm]
Ist dies korrekt?
Sorry für die blöden Fragen, ich logarithmiere heute das Erste Mal.
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Hallo,
> Hallo Diophant,
> vielen Dank für deine rasche Antwort.
>
> Leider hab ich jetzt ein anderes Problem:
>
> wie genau kann man log(8) lesen? Soweit ich verstehe,
> braucht man für einen Logarithmus sowohl eine Basis als
> auch ein Endergebnis.
Das ist schon richtig, aber man kann die Basis beliebig wählen, von daher kann man sie in solchen Rechnungen zunächst auch einmal weglassen. Ich wusste nicht, ob ihr den natürlichen Logarithmus (das ist der zur Basis e) schon durchgenommen habt.
>
> Nach etwas Recherche hab ich herausgefunden, dass man bei
> nicht existierender Basis die eulersche Zahl verwenden
> soll. Folglich sollte nun von log(8) das ergebnis (also der
> Exponent) 2,07944 sein.
>
Es ist [mm] ln(8)\approx{2.07944}, [/mm] aber das ist ja nur eine Näherung. Von daher würde ich den exakten Wert ln(8) stehen lassen.
> In die Formel eingesetzt ergibt dies
>
> log(x)-2,07994 = [mm]log(2)^{y}[/mm]
>
> Ist dies korrekt?
Ja, aber du musst ja jetzt noch nach y auflösen. Eine vollständige Rechnung sieht für mich so aus:
[mm] x=8*2^y
[/mm]
[mm] 2^y=\bruch{x}{8}
[/mm]
[mm] ln\left(2^y\right)=ln\left(\bruch{x}{8}\right)
[/mm]
y*ln(2)=ln(x)-ln(8)
und schlussendlich
[mm] y=\bruch{ln(x)-ln(8)}{ln(2)}
[/mm]
Versuche mal nachzuvollziehen, wo welches Logarithmengesetz angewendet wurde und eigne dir dieselbigen möglichst schnell an.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Mafloni |
Das werde ich machen. Vielen Dank für deine Mühe. Du hast mir sehr geholfen.
Mir erschließt sich jedoch noch nicht ganz der Sinn dieser Lösung.
Ich hätte gedacht, ich brauch in die Formel [mm] y=\bruch{ln(x)-ln(8)}{ln(2)} [/mm] jetzt nur mehr die entsprechende Potenz für "x" einsetzen und ich komme auf die gesuchten Werte für den Plot.
Wenn ich jedoch z.B. x=1 einsetze
[mm] y=\bruch{ln(1)-ln(8)}{ln(2)}
[/mm]
dann komme ich auf -3, und nicht auf 2,77, so wie es laut Lehrer korrekt sein sollte.
selbiges bei x=2
[mm] y=\bruch{ln(2)-ln(8)}{ln(2)}
[/mm]
hier komme ich auf -2 statt auf 3,47.
habe ich irgendwas übersehen?
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Hallo,
diese Werte müssen irgendetwas mit der log-Skala der y-Achse zu tun haben. Aber was er da genau meiont, geht IMO aus der Aufgabenstellung im Themenstart nicht hervor.
Vielleicht sollt ihr ja zunächst eine neue Funktion aufstellen:
[mm] y_L=ln(8*2^x)=ln(8)+x*ln(2)
[/mm]
und diese dann umkehren, das würde noch Sinn ergeben, aber die angegebenen Werte würde es auch nicht erklären.
Hast du die Aufgabenstellung oben komplett angegeben? Falls nein, hole es mal noch nach.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Fr 08.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
steht in der Aufgabe exakt logc/linear-Plot
dann kannst du doch ein geeignetes c wählen, für die [mm] 2^x [/mm] fkt wäre das 2, also [mm] log_2
[/mm]
und was dein x betrifft, das du einsetzen sollst das solltest du deiner ersten tabelle entnehmen, du hast ja x und y vertauscht, dann brauchst du die Werte [mm] x=8*2^y
[/mm]
um [mm] 1=8*2^y [/mm] ein y zu finden, muss natürlich y negativ sein!
Gruss leduart
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