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| Aufgabe | Für jede Zahl t > 0 ist eine Funktionsschar ft(x) gegeben :
ft(x)= [mm] ln((x^2)+t)
[/mm]
a) UNtersuchen sie den Graph auf Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.
b) Für 0 < t < 0,5 sind die Punkte A [mm] (\wurzel{t}/ [/mm] ln (2t)), B ( [mm] -\wurzel{t}/ [/mm] ln (t)
und O (0 / 0) Eckpunkte eines Dreiecks, das um die y-Achse rotiert. Für welchen Wert von t wird der Rauminhalt des entstehendenKegels am Größten? Geben sie den größtmöglichen Rauminhalt an . |
So das ist die Aufgabenstellung:
Ein paar andere unteraufgaben konnte ich problemlos berechnen
Nun hab ich wie immer alles berechnet und hab bei Symmetrie und den Nullstellen keinerlei probleme gehabt. doch obwohl es ja extrempunkte gibt (hab zum besseren Verständnis mir eine Skizze gemacht für t = 4 ) hab ich es nicht geschafft diese zu berechnen daher hab ich sowohl keine Extrem-als auch Wendepunkte.
mein erste Ableitung ist
ft´(x)= [mm] 1/((x^2)+t)
[/mm]
und meine zweite ist daher
ft´´(x)= [mm] -2x/((x^2)+t)^2
[/mm]
so die ableitungen habe ich auch mit hilfe vonbüchern mir errechnet doch muss der fehler irgendwie da liegen
bitte daher um hilfe
die aufgabe b konnte ich aufgrund der fehlenden ableitungen auch nit berechnen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Bademeister,
du hast die innere Ableitung von von [mm] x^2 [/mm] + t bei der ![[]](/images/popup.gif) Kettenregel vergessen.
MfG,
Gono.
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danke für die schnelle antwort
hm... damit hab ich immer probleme d.hh. die ableitungdes ganzen ist mal 2 denn die innere ableitung ist doch 2 oder wie verknüpf ich das in diesem fall mit der besonderen ableitung von ln ?
oder ist jetz lediglich der nenner mal 2 ?
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Die Ableitung von [mm] x^2 [/mm] + t ist 2x.
MfG,
Gono.
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stimmt entschludigung meinte ich ja ^^
daher lautet die erste Ableitung ja
ft´(x)= [mm] 1/2x((x^2) [/mm] + t) ???
hm... so und die zweite
[mm] -2x/4x^2(x^2+t)^2 [/mm] ?
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Hallo,
leider stimmt schon die 1. Ableitung nicht
äußere Ableitung: [mm] \bruch{1}{x^{2}+t}
[/mm]
innere Ableitung: 2x
du bekommst: [mm] \bruch{2x}{x^{2}+t}
[/mm]
Steffi
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aha danke also musste man die inner ableitung mit dem kompletten bruch mal nehemen
das wiederum heisst doch dann jetz letzendlich ^^
= [mm] ((x^2)+t)^-2x [/mm] => [mm] -2x((x^2)+t)^-2x*2x [/mm] d.h. [mm] -4x/((x^2)+t)^2 [/mm] ?
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Hallo, leider ist mir nicht klar, steht bei dir die 1. oder die 2. Ableitung, die 1. Ableitung lautet
[mm] \bruch{2x}{x^{2}+t}
[/mm]
zur Bildung der 2. Ableitung wird die Quotientenregel benötigt mit
u=2x
u'=2
[mm] v=x^{2}+t
[/mm]
v'=2x
jetzt berechne mal die 2. Ableitung,
Steffi
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danke
daher lautet die zweite ableitung noch nicht zusammengefasst:
[mm] (2*((x^2)+t)-2x*2x)/((x^2)+t)^2
[/mm]
zusammengefasst lautet die dann
[mm] (2t-2x^2)/((x^2)+t)^2
[/mm]
oder?
danke schon ma an alle die mir helfen konnten
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Di 19.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bademeister!
Das stimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Gruß
Loddar
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danke nochmal
so hab alles weiter berechnet bekommen
jetz hab ich nur noch zwei fragen offen:
1.für welchen Wert von t liegen die Wendepunkte ( es gibt aber eig nur einen ) unterhalb der x-Achse?
Weiß nicht genau wie ich da anfangen soll
2. Bezug zu Aufgabenteil b) :
hab natürlic ne volumenfunkton aufgestell
V= ( [mm] \pi/3 )*(r^2)*h
[/mm]
daraus folgt
V= ( [mm] \pi/3)*t*ln(2t)
[/mm]
Die erste Ableitung ist:
1/2t oder ???
die zweite:
-2t^-2 oder ???
ich hab ja daher für t bei Ableitung 2 0 raus kann das sein ???
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Hallo,
zu 1.)
[mm] f(x)=ln(x^{2}+t)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2x}{x^{2}+t}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2x^{2}+2t}{(x^{2}+t)^{2}}
[/mm]
möchtest du jetzt untersuchen, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen, so setze
[mm] 0=\bruch{-2x^{2}+2t}{(x^{2}+t)^{2}} [/mm] also
[mm] 0=-2x^{2}+2t
[/mm]
[mm] x^{2}=t
[/mm]
du erkennst sofort, es gibt zwei Wendepunkte, an den Stellen [mm] x_1= [/mm] ... und [mm] x_2= [/mm] ...
möchtest du nun untersuchen, für welche t die Wendepunkte unterhalb der x-Achse liegen, so gilt doch [mm] f(x_w)<0
[/mm]
zu 2.)
du solltest zunächst über die 1. Ableitung genau nachdenken, bedenke, ein konstanter Faktor, hier [mm] \bruch{\pi}{3}, [/mm] bleibt erhalten, sicherlich kennst du auch die Produktregel,
Steffi
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dankeschön entschuldigung ich glaube ich hab mich schlecht ausgedrückt wendestellen und ableitungen hatte ich alle schon berechnet es stand lediglich die frage nach den wendestellen unter der y achse
und der nächste teil bezog sich auf die aufgabenstellung b) , die ich ganz am anfang als erstes gepostet hab - dort steht die extremaufgabe noch ein mal
daraus hab ich geschlossen, da das volumen des kegels maximal sein soll:
[mm] V=(\pi/3)*(r^2)*h [/mm] ist die allgemeine volumenberechnungsformel
da r = [mm] \wurzel{t}
[/mm]
und h = ln(2t)
--> [mm] V=(\pi/3)*t*ln(2t)
[/mm]
da das volumen maximal sein soll brauch ich die ableitungen
Die erste wäre :
V´=1/2t ?
Die zweite:
V´´=+2t^-2
Da ich die erste ableitung gleich null setzen muss:
ergibt sich t=0
ist das nun richtig ???
das hiesse für das maximale volumen isei gleich [mm] \pi/3 [/mm] ?
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Hallo,
1. Teil:
achte zunächst sauber auf deine Formulierungen, die Wendepunkte liegen an den Stellen [mm] x_1=-\wurzel{t} [/mm] und [mm] x_2=\wurzel{t}, [/mm] jetzt sollst du die Frage klären, für welche t ist der Funktionswert der Wendepunkte kleiner als Null, deine Funktion ist achsesymmetrisch zur y-Achse, also ist zu klären
[mm] ln((\wurzel{t})^{2}+t)<0
[/mm]
ln(2t)<0
0<t<0,5
2. Teil:
du hast leider immer noch nicht die Produktregel benutzt
u=t
u'=1
v=ln(2t)
[mm] v'=\bruch{1}{t}
[/mm]
denke dabei aber auch an deinen konstanten Faktor, so jetzt ran an die Produktregel
Steffi
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ahhhhhhhh stimmt hm... bin ich dof hab direkt t als 1 abgeleitet ohne die produktrege dankeschön
jetz konnt ich alles berechnen ohne probleme danke schön nochmal an alle auch danke nochma für die geduld ^^
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