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Forum "Funktionen" - Logarithmusfunktion untersuche
Logarithmusfunktion untersuche < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Logarithmusfunktion untersuche: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:30 Mo 11.01.2010
Autor: bero2009

Aufgabe
Sei c > 1 eine reelle Zahl. Wir definieren den Logarithmus zur Basis c als die Abbildung
[mm]log_c:\IR^{>0}\rightarrow\IR, x\mapsto\frac{log (x)}{log (c)}[/mm]

a) Zeige [mm]log_c[/mm] ist die Umkehrfunktion zur Funktion [mm]f:\IR\rightarrow\IR^{>0}, x\mapsto c^x[/mm]
b) Zeige, dass [mm]log_c[/mm] monoton wachsend und stetig ist.
c) Beweise die Funktionsgleichung [mm]log_c(x)+log_c(y) = log_c(xy)[/mm]

Hallo zusammen,

ich bin bei der obigen Aufgabe bis jetzt wie folgt vor gegangen:

a) [mm]y=f(f^{-1}(y))=c^{f^{-1}(y)}\gdw log_c(y)=f^{-1}(y)\gdw \frac{log (y)}{log (c)}=f^{-1}(y)[/mm]
Stimmt das so?

b) Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x[/mm]. Wir betrachten zu der Urbildfolge [mm](x_n)[/mm] die zugehörige Bildfolge [mm]f(x_n)[/mm] und prüfen, ob gilt [mm]\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)[/mm].
[mm]\Rightarow \lim\limits_{n\to\infty} \frac{log(x_n)}{log(c)}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}log(x_n)}{\lim\limits_{n\to\infty}log(c)}=\frac{log(x)}{log(c)}=f(x)[/mm]. Somit ist [mm]log_c[/mm] stetig.

Könnt ihr das bis hier hin bestätigen?
Wie zeige ich jetzt am besten, dass die Funktion auch monoton wachsend ist?

Im Prinzip muss ich mir ja die Bildfolge anschauen und zeigen, dass für jedes Folgeglied [mm]a_n[/mm] gilt: [mm]a_n
Ich hoffe ihr habt einen Denkanstoß für mich;)

Gruß
Benni

        
Bezug
Logarithmusfunktion untersuche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Mo 11.01.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Bei a) ist es einfacher zu zeigen, dass

[mm] c^{\left(\bruch{\log(x)}{\log(c)}\right)}=\ldots=x [/mm]

Und diese [mm] \ldots [/mm] solltest du durch geschicktes Anwenden der MBLogarithmusgesetze (evtl in Kombination mit den MBPotenzgesetzen) füllen.
Für [mm] \log(v), [/mm] den ihr wahrscheinlich als [mm] \lg(v)=\log_{10}(v) [/mm] definiert habt, darfst du diese Gesetze ja nutzen.

b) Um zu zeigen, dass eine Funktion g(x) auf ihrem Def-Bereich [mm] \mathcal{D} [/mm] monoton wachsend ist, musst du zeigen, dass $ [mm] g'(x)\ge0 \forall x\in\mathcal{D} [/mm] $
Dein Weg, die Stetigkeit zu zeigen, ist ok.

zu c)
[mm] \log_c(x)+\log_c(y) [/mm]
[mm] =\bruch{\log(x)}{\log(c)}+\bruch{\log(y)}{\log(c)} [/mm]
[mm] =\bruch{\log(x)+\log(y)}{\log(c)} [/mm]
[mm] =\ldots [/mm]

Kommst du damit erstmal weiter?

Marius
Bezug
                
Bezug
Logarithmusfunktion untersuche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Mo 11.01.2010
Autor: bero2009


> Hallo
>  
> Bei a) ist es einfacher zu zeigen, dass
>  
> [mm]c^{\left(\bruch{\log(x)}{\log(c)}\right)}=\ldots=x[/mm]
>  
> Und diese [mm]\ldots[/mm] solltest du durch geschicktes Anwenden der
> MBLogarithmusgesetze (evtl in Kombination mit den
> MBPotenzgesetzen) füllen.

Ist meine a nicht korrekt und wenn ja warum nicht?

> b) Um zu zeigen, dass eine Funktion g(x) auf ihrem
> Def-Bereich [mm]\mathcal{D}[/mm] monoton wachsend ist, musst du
> zeigen, dass [mm]g'(x)\ge0 \forall x\in\mathcal{D}[/mm]

Ok, das mit der Ableitung erscheint mir logisch. Nur an der Umsetzung scheitert es gerade. Ich habe folgendes: [mm]f(x)=\frac{log(x)}{log(c)} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{log(c)}\cdot \frac{1}{x\cdot ln (10)}[/mm]. Stimmt die Ableitung soweit?

Nun muss ich halt noch zeigen, dass meine Ableitung stehts größer Null ist. Dafür würde ich jetzt den [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] auf meine Ableitung anwenden. Also [mm]\frac{1}{log(c)}\cdot\frac{1}{ln(10)}\cdot\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}[/mm]. Dann aber würden meine Ableitungen gegen 0 laufen, was bedeuteten würde, dass f nicht monoton wachsend ist.

Wo ist da der Fehler??


Bezug
                        
Bezug
Logarithmusfunktion untersuche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Mo 11.01.2010
Autor: abakus


> > Hallo
>  >  
> > Bei a) ist es einfacher zu zeigen, dass
>  >  
> > [mm]c^{\left(\bruch{\log(x)}{\log(c)}\right)}=\ldots=x[/mm]
>  >  
> > Und diese [mm]\ldots[/mm] solltest du durch geschicktes Anwenden der
> > MBLogarithmusgesetze (evtl in Kombination mit den
> > MBPotenzgesetzen) füllen.
>  
> Ist meine a nicht korrekt und wenn ja warum nicht?
>  
> > b) Um zu zeigen, dass eine Funktion g(x) auf ihrem
> > Def-Bereich [mm]\mathcal{D}[/mm] monoton wachsend ist, musst du
> > zeigen, dass [mm]g'(x)\ge0 \forall x\in\mathcal{D}[/mm]
>  
> Ok, das mit der Ableitung erscheint mir logisch. Nur an der
> Umsetzung scheitert es gerade. Ich habe folgendes:
> [mm]f(x)=\frac{log(x)}{log(c)} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{log(c)}\cdot \frac{1}{x\cdot ln (10)}[/mm].
> Stimmt die Ableitung soweit?
>  
> Nun muss ich halt noch zeigen, dass meine Ableitung stehts
> größer Null ist. Dafür würde ich jetzt den
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] auf meine Ableitung anwenden.
> Also
> [mm]\frac{1}{log(c)}\cdot\frac{1}{ln(10)}\cdot\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}[/mm].
> Dann aber würden meine Ableitungen gegen 0 laufen, was
> bedeuteten würde, dass f nicht monoton wachsend ist.
>
> Wo ist da der Fehler??

Ich habe nichts nachgerechnet.
Aber lasse doch die Ableitung gegen Null gehen. Na und?
So lange die Ableitung "von oben" und nicht etwa "von unten" gegen 0 geht, ist sie immer positiv und die Funktion somit immer (wenn auch nicht besonders stark) wachsend.
Gruß Abakus

>  
>  

Bezug
        
Bezug
Logarithmusfunktion untersuche: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Do 14.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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