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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Logistisches Wachstum
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Logistisches Wachstum: Problem bei der Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Sa 18.06.2011
Autor: rammy

Aufgabe
Ich bereite mich gerade für eine Prüfung vor und lese mir eine Herleitung des logistischen Wachstums durch, verstehe jedoch diese in gewissen Punkten nicht. Ich skizziere mal den Herleitungsprozess:

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


[mm] \bruch{dP}{dt}=\gamma P-\alpha P^{2}, [/mm] für [mm] \alpha>0. [/mm] Wobei [mm] \gamma [/mm] die Geburtenrate und Alpha die Todesrate bezeichnet.
Hier steht dann noch: [mm] P'=\lambda [/mm] P(K-P) für [mm] \lambda,K>0. [/mm] Nun setzen wir [mm] \lambda [/mm] = [mm] \alpha [/mm] und K = [mm] \frac{\gamma}{\alpha}. [/mm] Mit der Anfangsbedingung [mm] P(0)=P_{0} [/mm] erhalten wir eine Differentialgleichung. Wir formen um und erhalten: [mm] \frac{P'}{P(K-P)}=\lambda \Rightarrow \integral{\frac{dP}{P(K-P)}}=\lambda\integral{dt} [/mm] mit [mm] K\not=P, P\not=0. [/mm] Nun folgt der erste Schritt, der mir nicht ganz klar ist, und zwar:
[mm] (\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}=\lambda t+c_{1}. [/mm]  (Wie kommt man auf: [mm] (\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}). [/mm]
Der Rest der Herleitung geht eigentlich auch, bis:
[mm] Pce^{-\lambda kt}=|k-P|, [/mm] c>0  [mm] \Rightarrow k-P=ce^{-\lambda ktP}, c\in [/mm] |R{0} und [mm] \Rightarrow P(t)=k(1+ce^{-\lambda kt})^{-1}. [/mm]
Der Schluss leuchtet mir nicht ganz ein, würde es doch gerne verstehen, da es sicher nur ein Trick ist, welcher mir nicht einfällt.


        
Bezug
Logistisches Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Sa 18.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> logistisches Wachstum
>
> [mm]\bruch{dP}{dt}=\gamma P-\alpha P^{2},[/mm] für [mm]\alpha>0.[/mm] Wobei
> [mm]\gamma[/mm] die Geburtenrate und Alpha die Todesrate bezeichnet.
> Hier steht dann noch: [mm]P'=\lambda[/mm] P(K-P) für [mm]\lambda,K>0.[/mm]
> Nun setzen wir [mm]\lambda[/mm] = [mm]\alpha[/mm] und K =
> [mm]\frac{\gamma}{\alpha}.[/mm] Mit der Anfangsbedingung [mm]P(0)=P_{0}[/mm]
> erhalten wir eine Differentialgleichung. Wir formen um und
> erhalten: [mm]\frac{P'}{P(K-P)}=\lambda \Rightarrow \integral{\frac{dP}{P(K-P)}}=\lambda\integral{dt}[/mm]
> mit [mm]K\not=P, P\not=0.[/mm] Nun folgt der erste Schritt, der mir
> nicht ganz klar ist, und zwar:
>  
> [mm](\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}=\lambda t+c_{1}.[/mm]
>  (Wie kommt man auf:
> [mm](\integral{\frac{dP}{P}}+\integral{\frac{dP}{(K-P)}})\frac{1}{K}).[/mm]

Da wurde eine Partialbruchzerlegung gemacht:

    [mm] $\frac{1}{P*(K-P)}\ [/mm] =\ [mm] \left(\frac{1}{P}\ +\ \frac{1}{K-P}\right)*\frac{1}{K}$ [/mm]


>  Der Rest der Herleitung geht eigentlich auch, bis:
>  [mm]Pce^{-\lambda kt}=|k-P|,[/mm] c>0  [mm]\Rightarrow k-P=ce^{-\lambda ktP}[/mm]    [notok]

Da ist rechts ein P in den Exponenten verrutscht ....
Richtig:

            $\ k-P\ =\ [mm] c*e^{-\lambda kt}*P$ [/mm]

Nun P addieren, dann rechts P ausklammern und die
Gleichung durch den Klammerterm T dividieren.
Die Division durch T kann man auch als
Multiplikation mit [mm] T^{-1} [/mm] schreiben !

> [mm] c\in\IR\smallsetminus\{0\} [/mm] und [mm]\Rightarrow P(t)=k(1+ce^{-\lambda kt})^{-1}.[/mm]

LG   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Logistisches Wachstum: Danke vielmals!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Sa 18.06.2011
Autor: rammy

Ich danke dir ganz herzlichst! Das "P", welches im Exponent war, hatte mich etwas fertig gemacht, den Rest hatte ich schon durchschaut!

Lg
R

Bezug
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