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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | eine rasch wachsende algenart bedeckt zu beginn 2m² eines 300m² großen teichs. der monatliche zuwachs z(t-1) ist sowohl proportional zur vorhandenen fläche als auch zur noch freien fläche
z(t-1) = 0,003 x f (t-1) x (300- f(t-1))
a) überlege, was für diese doppelte proportionalität spricht. |
Hallo,
das ist doch die Formel für die erste Ableitung, oder? Also f'(t)=k*f(t)*(s-f(t)). Hier geht es also um die Steigung.
Man möchte also darstellen, UM wie viel die die Algenart sich monatlich ausbreitet. Aber wieso wird immer 1 von t abgezogen? Ich finde leider auch keine Antwort dazu, was für eine doppelte proportionalität sprechen soll. Vllt, dass wenn die fläche mit algen proportional wächst, nimmt die Größe der freien Fläche gleichzeitig um dieselbe Größe ab.?Also auch proportional?
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Hallo Mathics,
was du da aufgestellt hast ist die Differenzialgleichung des logistischen Wachstums. Sie drückt genau das aus, was bei euch (wie ich finde, etwas unglücklich) als doppelte Proportionalität bezeichnet wird.
Meiner Ansicht nach sind diese Algenaufgaben gar kein gutes Beispiel für logistisches Wachstum. Für ein logistisches Wachstum spricht, wenn sich eine Population in einem begrenzten Lebensraum mit begrenzten Ressourcen zunächst exponentiell vermehrt. Je größer sie wird, desto mehr bekommt sie die Begrenzung der Ressourcen zu spüren, bspw. dass die Nahrung knapper wird. Die Algen wachsen aber erfahrungsgemäß halt fröhlich zu, bis der See voll ist. Sie sind daber eigentlich nicht auf freie Seeflächen angewiesen (meiner Kenntnis nach) insofern stört die Tatsache, dass die freie Seefläche kleiner wird, das Wachstum hier eigentlich nicht.
Auf jeden Fall waren wohl Argumentationen dieser Art die Intention des Aufgabenstellers.
Zu den t-1: auch das ist etwas unglücklich. t soll ja die einzelnen Monate bezeichnen, wenn man überall t-1 einsetzt, dann ist t=1 der Beobachtungsbeginn. Das ist einfach nur eines - umständlich, und man muss es keinesfalls so machen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Mathics |
Meine Antwort war also im Prinzip richtig bzw. für die Intention dieser Aufgabenstellung angemessen?
Ich muss noch den Graphen dazu zeichnen, ich weiß aber nicht was f(t) ist. Das kann ich aber über die allgemeine Gleichung herauskriegen oder? f(0) ist ja gleich 2. und die maximale Größe/Grenzwert S=300.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mo 24.09.2012 | | Autor: | lyx |
Hallo
um den Graphen von f(t) zu zeichnen musst du die Differentialgleichung lösen und wie du schon schreibst die Anfangsbedingung f(0)=2 mit berücksichtigen.
Die Lösung der Differentialgleichung lautet:
f(t) = [mm] \frac{s}{1+e^{-k*s*t}\left( \frac{s}{f(0)}-1\right)}
[/mm]
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Mo 24.09.2012 | | Autor: | lyx |
Hallo
> erfahrungsgemäß halt fröhlich zu, bis der See voll ist.
> Sie sind daber eigentlich nicht auf freie Seeflächen
> angewiesen (meiner Kenntnis nach) insofern stört die
> Tatsache, dass die freie Seefläche kleiner wird, das
> Wachstum hier eigentlich nicht.
man könnte aber annehmen, dass das Wachstum der Algen von den Lichteintag in den See abhängig ist (Photosynthese) und dieser ist von der freien Seefläche abhängig.
Gruss
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