Lok. Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:48 Di 20.06.2006 | | Autor: | Daywalker220 |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die lokalen Extrema der Funktion $f: [mm] \IR^{2} \mapsto \IR, [/mm] f (x,y) = [mm] x^{2} y^{3} [/mm] (1 - x -y)$. |
Guten Abend...
In der letzten Vorlesung haben wir lok. Extrema bei Funktionen mit mehreren Unveränderlichen eingeführt. Ich hab zwar die Bedingungen (grad f = 0 und Hesse-Matrix pos. oder neg. definit) verstanden, aber hab noch Probleme die Hesse-Matrix zu bestimmen... Soweit bin ich bisher:
$f (x,y) = [mm] x^{2} y^{3} [/mm] (1 - x -y) = [mm] x^{2} y^{3} [/mm] - [mm] x^{3} y^{3} [/mm] - [mm] x^{2} y^{4}$
[/mm]
$grad\ f(x,y) = ( 2 [mm] y^{3}x [/mm] (1- 3/2 x -y) , 3 [mm] y^{2} x^{2} [/mm] (1 - x - 4/3 y) ) = 0$
[mm] $\gdw [/mm] y=0, x=0, 1- 3/2 x - y = 0 , 1 - x - 4/3 y = 0$
Was muss ich jetzt weitermachen? Wie bestimme ich die Hesse-Matrix? Wäre nett, wenn jemand mir die Schritte erklären könnte. Vielleicht an einen einfacheren Beispiel? Danke an alle, die sich mit dieser Aufgabe beschäftigen... 
Gruß, Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Mi 21.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Fabian,
zunächst: Ich nehme an, Du meintest "... mehreren UnVeränderlichen"
für die Hesse-Matrix benötigst Du die partiellen zweiten Ableitungen:
$ [mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}} [/mm] $
in welche Du dann die Koordinaten der kritischen Punkte einsetzt, also der Kandidaten für lokale Extrema.
Für diese kritischen Punkte muss ja gelten (analog zu $grad\ f(x,y) = (0,0)$ aber anders ausgedrückt):
[mm] $f_x [/mm] = 0 [mm] \wedge f_y=0$
[/mm]
Daraus ergeben sich drei Fälle:
I.
$ x = 0 [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in \IR$
[/mm]
II.
$ x [mm] \in \IR \wedge [/mm] y=0$
III.
$y = [mm] -\bruch{3}{2}x+2$ \quad \wedge
[/mm]
$y = [mm] -\bruch{3}{4}x+\bruch{3}{4} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{5}{3} \wedge [/mm] x = [mm] -\bruch{1}{2}$
[/mm]
Für diese drei Fälle setzt Du dann die jeweiligen Koordinaten in die Hesse-Matrix ein und untersuchst jeweils auf Definitheit.
Für Fall I und II habe ich nicht-definite Matrizen heraus (wenn ich mich nicht verrechnet habe).
Dabei braucht man sich nicht daran zu stören, dass an einer Stelle in der Matrix I noch ein Polynom mit y auftaucht... 
Fall III durchzurechnen bin ich zu faul, aber aus der Anschauung heraus müsste da m.E. ein lokales Maximum sein.
Ich hoffe, ich habe mich nirgends verrechnet (und keine Denkfehler eingebaut) und hoffe, ich konnte Dir schon mal weiterhelfen.
Schöne Grüße,
ardik
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Hi...
Danke erstmal für deine Mühe, Ardik. HAst mir damit sehr weitergeholfen... Werde jetzt meine Lösung hier reinschreiben und hoffen, dass ich alles richtig gemacht habe...
Also:
grad\ f(x,y) = ( 2 [mm] y^{3}x [/mm] (1- 3/2 x -y) , 3 [mm] y^{2} x^{2} [/mm] (1 - x - 4/3 y) ) = 0
1. Fall
y=0 , x [mm] \in \IR
[/mm]
2. Fall
y [mm] \in \IR [/mm] , x=0
3. Fall
x = 1/3 und y = 1/2
So... jetzt die Hesse-Matrix bestimmen:
Hess f(x,y) = [mm] \pmat{ 2 y^{3} - 6 y^{3} x - 2 y^{4} & 6 y^{2} x - 9 y^{2} x^{2} - 8 y^{3} x \\ 6 y^{2} x - 9 y^{2} x^{2} - 8 y^{3} x & 6 y x^{2} - 6y x^{3} - 12 y^{2} x^{2} }
[/mm]
Betrachte 1. Fall:
=> Hess f(x,0) = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
=> Hesse-Matrix ist indefinit, also liegt für x [mm] \in \IR, [/mm] y=0 kein lok. Extrema vor
Betrachte 2. Fall:
=> Hess f(0,y) = [mm] \pmat{ 2 y^{3} -2 y^{4} & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Was ist denn jetzt? Ist diese Matrix indefinit? Ich glaube, habe im moment Brett vor dem Kopf...^^
Betrachte 3. Fall:
=> Hess f(1/3, 1/2) = [mm] \pmat{-1/8 & -1/12 \\ -1/12 & -4/9 }
[/mm]
=> Matrix ist negativ definit
=> mit grad f(1/3 , 1/2)=0 folgt, dass f für x= (1/3 , 1/2) ein striktes lok. Maximum besitzt
Hab ich das bisher alles richtig gemacht? Kann mir jeamnd bei der Auslegung vom 2.Fall helfen?
Gruß, Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 23.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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