Lokal konstante Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 09.05.2006 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum und f : X -> [mm] \IR [/mm] eine Abbildung. Dann heißt
f lokal-konstant, falls für jedes x [mm] \in [/mm] X eine offene Teilmenge U [mm] \subseteq [/mm] X existiert, so dass
x [mm] \in [/mm] U und f(x) = f(y) für alle y [mm] \in [/mm] U gelten.
Sei nun X [mm] \not= \emptyset [/mm] ein topologischer Raum. Zeigen Sie, dass X genau dann zusammenhängend ist, wenn jede lokal konstante Abbildung f: X -> [mm] \IR [/mm] konstant ist. |
Hallo,
Komme bei obiger Aufgabe auf keinen grünen Zweig, vielleicht kann mir hier jemand helfen.
Meine bisherigen Überlegungen:
Beh: X zusammenhängend <=> jede lokal konstante Abbildung f ist konstant
Zu Zeigen
1. "<="
Vor: Jede lokal konstante Abbildung ist konstant
x [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] X , U sei Umgebung von x
c [mm] \in \IR
[/mm]
d.h. f(x) = c => [mm] f^{-1}(c) [/mm] = U
f ist stetig, da konstant
Kann ich nun einfach sagen
c als einziger Punkt ist zusammenhängende Menge und das (stetige) Bild zusammenhängender Mengen ist wieder zusammenhängend und somit U ebenfalls zusammenhängend?
Kann ich dann, da U und x beliebig gewählt sind auf die ganze Menge X schließen?
2."=>"
Vor: X zusammenhängend.
c [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] f(B_{ \varepsilon}(x)) [/mm] = c, da f lokal konstant
Tja, da weiß ich leider garnicht weiter...
Wäre echt sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Di 09.05.2006 | | Autor: | martzo |
hallo cruemel,
> Zu Zeigen
> 1. "<="
> Vor: Jede lokal konstante Abbildung ist konstant
> x [mm]\in[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] X , U sei Umgebung von x
> c [mm]\in \IR[/mm]
> d.h. f(x) = c => [mm]f^{-1}(c)[/mm] = U
> f ist stetig, da konstant
>
> Kann ich nun einfach sagen
> c als einziger Punkt ist zusammenhängende Menge und das
> (stetige) Bild zusammenhängender Mengen ist wieder
> zusammenhängend und somit U ebenfalls zusammenhängend?
> Kann ich dann, da U und x beliebig gewählt sind auf die
> ganze Menge X schließen?
>
Das ergibt für mich leider keinen Sinn. Überleg dir nochmal genau, was du zeigen willst. Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn [mm]\emptyset[/mm] und X die einzigen offen-abgeschlossenen Teilmengen (d.h. offen und abgeschlossen zugleich) von X sind. Am besten versuchst dus mit einem Widerspruchsbeweis: Angenommen X sei nicht zusammenhängend, dann ex. eine offen-abgeschlossene, nichtleere, echte Teilmenge M von X. Welche topologischen Eigenschaften hat die echte Teilmenge X \ M von X? Jetzt kannst du leicht eine lokalkonstante Funktion konstruieren, die auf X und auf X \ M unterschiedliche Werte annimmt.
>
> 2."=>"
> Vor: X zusammenhängend.
> c [mm]\in \IR[/mm]
> [mm]f(B_{ \varepsilon}(x))[/mm] = c, da f lokal
> konstant
>
> Tja, da weiß ich leider garnicht weiter...
>
Hier das gleiche, nur andersherum. Du musst zeigen, dass jede lokal-konstante Funktion f auf X konstant ist. Dazu nimmst du eine beliebige solche Funktion her, die dann natürlich auch stetig ist. Die Menge [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] ist deshalb für jedes x [mm] \in [/mm] X abgeschlossen. Du musst nur noch zeigen, dass sie auch offen ist.
Viele Grüße,
Martin
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