Lokale Auflösungen/Berechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:37 Fr 29.06.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie: Die Gleichung
[mm]x^3e^{-y}+log(y+1)sin({\pi}x)=1[/mm]
ist lokal bei [mm](1, 0)[/mm] nach [mm]y[/mm] auflösbar und diese Auflösung [mm]y(x)[/mm] ist lokal monoton wachsend |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie, dass die Gleichung
[mm]zxy + xz^3-z^5y = 1[/mm]
bei [mm](1, 1, 1)[/mm] lokal nach [mm]z[/mm] auflösbar ist und berechnen Sie [mm]Gradient(1, 1)[/mm]. |
| Aufgabe 3 | Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
[mm]xe^{y_1}+y_2sin(y_1)+e^{-y_2} = 1[/mm]
[mm]arctan(y_1+x)-cosh(y_2) = \bruch{\pi}{4}-1[/mm]
bei [mm](0, 1, 0)[/mm] lokal nach [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] auflösbar ist. Berechnen Sie [mm]{y'}_1(0)[/mm] und [mm]{y_2}'(0)[/mm] |
Aufgabe 1
Wenn ich die Gleichung nach [mm]y[/mm] differenziere:
[mm]-x^3e^{-y}+\bruch{1}{y+1}sin({\pi}x)[/mm]
Und dann meinen Punkt [mm](1, 0)[/mm] einsetze erhalte ich -1 als Ergebnis und das ist ja ungleich 0 und somit existiert die lokale Auflösung nach [mm]y(x)[/mm]
Soweit so gut, nur wie kann ich nun beweisen das [mm]y(x)[/mm] monoton wachsend ist? Normalerweise würde man ja nun in der Originalgleichung das [mm]y[/mm] durch [mm]y(X)[/mm] ersetzen und dann nach [mm]y(x)[/mm] auflösen/umstellen. Und damit könnte könnte man dann ja mit dem Monotoniekriterium beweisen ob es zutrifft.. Nur wie kann ich die Gleichung schön nach [mm]y(x)[/mm] auflösen? Das steht ja einmal beim e oben dran und einmal im Logarithmus drin. Kann man sowas überhaupt schon auflösen oder die Exponentialfunktion/den Logarithmus anderst darstellen sodass man an das [mm]y(x)[/mm] rankommt?
Oder kann man das irgendwie anderst zeigen/beweisen? Das einzige was man damit nun noch machen könnte, wäre ja, die neue Gleichung (also das Originale wo [mm]y[/mm] durch [mm]y(x)[/mm] ersetzt wurde) nun nach [mm]x[/mm] zu differenzieren um den Wert von [mm]y'(x)[/mm] im gegebenen Punkt zu erhalten (also neue Gleichung nach [mm]x[/mm] differenzieren, dann den gegebenen Punkt einsetzen und nach [mm]y'(x)[/mm] umstellen)
Bingt mich das irgendwie weiter?
Aufgabe 2
Ich habe die Gleichung zuerst nach [mm]z[/mm] differenziert:
[mm]xy+3xz^2-5yz^4[/mm]
und dann den gegebenen Punkt [mm](1,1,1)[/mm] eingesetzt. Als Ergebnis erhalte ich nun -1 was ja ungleich 0 ist und somit existiert die lokale Auflösung in dem Punkt
Dann hab ich in der Originalgleichung das [mm]z[/mm] durch [mm]z(x,y)[/mm] ersetzt:
[mm]xyz(x,y)+xz^3(x,y)-yz^5(x,y)-1[/mm]
und diese Gleichnung dann nach [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] diffenrenziert:
[mm]f_x = xyz_x(x,y)+yz(x,y)+z^3(x,y)+3xz^2(x,y)z_x(x,y)-5yz_x(x,y)z^4(x,y)[/mm]
[mm]f_y = xyz_y(x,y)+xz(x,y)+3xz_y(x,y)z^2(x,y)-z^5(x,y)-5yz_y(x,y)z^4(x,y)[/mm]
Nun habe ich in beide Gleichungen die x-/y-Werte meines Punktes eingesetzt und ich weiss ja das [mm]z(x,y) = 1[/mm] ist in dem Punkt. Und dann habe ich das ganze die beiden Gleichungen nach [mm]z_x(x,y)[/mm] bzw. [mm]z_y(x,y)[/mm] umgestellt.
Also erhalte ich [mm]z_x(x,y) = 2[/mm] und [mm]z_y(x,y) = 0[/mm]
Ist das nun schon mein [mm]Gradient(1, 1)[/mm] also [mm]Gradient(1, 1) = (2, 0)[/mm] oder muss ich die [mm]z_x, z_y[/mm] Werte noch woanderst einsetzen?
Noch eine andere Frage, wenn ich das auslösen nach einer Variablen richtig verstanden habe, habe ich zum schluss ja eine neue Gleichng die so aussieht: [mm]f(x,y) = xyz(x,y)+xz^3(x,y)-yz^5(x,y) = 1[/mm] oder? Und [mm]z(x,y)[/mm] würde ich ja bekommen wenn ich die Gleichung nun [mm]= 0[/mm] setze und dann nach [mm]z(x,y)[/mm] umstelle/auflöse, oder?
Aufgabe 3
Ich setze ja nun meine beiden Gleichungen [mm]= 0[/mm] und differenziere die beiden Gleichungen dann nach [mm]y_1, y_2[/mm] und erhalte dann ja folgende Matrix:
[mm]\pmat{ {xe^{y_1}+y_2cos(y_1)} & {sin(y_1)-e^{-y_2}} \\ {\bruch{1}{1+(y_1+x)^2}} & {-sinh(y_2)} }[/mm]
Wenn ich da nun meinen gegebenen Punkt [mm](0, 1, 0), (x, y_1, y_2)[/mm] einsetze und dann von der Matrix di Determinante berechne erhalte ich [mm]-(\bruch{1}{2}sin(1)-1)[/mm] was ja ungleich 0 ist und somit existieren die Auflösungen ja.
Wie mache ich da nun weiter? Wie gewohnt, wenn ich nur nach einer Variablen auflösen soll?
Also [mm]y_1, y_2[/mm] in den gegebenen Gleichungen ersetzen durch [mm]y_1(x,y), y_2(x,y)[/mm] und dann die beiden Gleichungen nach [mm]x[/mm] differenzieren und dann den Gegebenen Punkt einsetzen und dabei halt beachten das [mm]y_1(0) = 1[/mm] und [mm]y_2(0) = 0[/mm], weil [mm]x = 0[/mm] ist in dem Punkt, ist?
Kann es sein das dann zum Schluss nach einsetzen des Punktes in der oberen Gleichung nur noch [mm]{y_2}'(0)[/mm] und noch Werte und in der unteren (zweiten) Gleichung dann nur noch [mm]{y_1}'(0)[/mm] und Werte stehen und somit [mm]{y_1}'(0) = -2[/mm] und [mm]{y_2}'(0) = \bruch{-e^1}{sin(1)-1}[/mm] ist?
Wenn gewünscht kann ich auch meine Rechnung diesbezüglich reinschreiben, damit es vielleicht klarer wird, was ich meine oder wie ich auf diese Werte komme.
Würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könntet bei meinen paar Fragen/Problemen bezüglich des Auflösens von Gleichungen nach einer Variablen
Gruß
myo
Ich hab diese Frage/Aufgabe auf keinen anderen Foren/Seiten im Internet gestellt/gepostet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bissel viel Aufgaben auf einmal.
Also erstmal nur zu 1)
leite g(x,y(x)) nach x ab. benutze die Kettenregel, d.h.
etwa der erste Ausdtuck [mm] x^3*e^{-y} [/mm] ergibt:
[mm] 3x^2e^{-y}+x^3*(-e^{-y})*y' [/mm] usw.
die rechte Seite gibt 0. Deinen Punkt einsetzen, dann ergibt sich y' an der Stelle!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 30.06.2007 | | Autor: | myo |
Ja, das könnte schon sein mit den "bisschen viel Aufgaben", aber so grob sind sie ja alle schon gelöscht und nur noch ein paar letzte Probleme/Verständnisfragen offen. Ich dchte bevor ich dazu nun 2 oder 3 kleinere Threads eröffne mach ich das in einem grossen, weil das alles ja zusammenhängt. Aber waren eben mehrere Aufgaben und ich konnte nicht alle meine Fragen mit nur einer Aufgabe stellen.
Aufgabe 1
Wie das Differenzieren der neuen Funktion geht und das ich dann nach umstellen
[mm]y'(x)[/mm] an der Stelle (also den Wert) habe ist mir auch klar. Nur ich soll ja hier zeigen das [mm]y(x)[/mm] lokal monoton wachsend ist und mir ist eben nicht ganz klar wie ich das zeigen kann/soll, da ich die neue Funktion [mm]f(x,y(x))[/mm] nicht so einfach nach [mm]y(x)[/mm] umstellen kann wegen der Exponentialfunktion und de Logarithmus. Oder reicht es etwa schon aus die Monotonie von [mm]y(x)[/mm] zu zeigen durch den Wert von [mm]y'(x)[/mm] an der gegebenen Stelle?
Gruß
myo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo myo!
Eine Funktion $y(x)$ ist monoton steigend, wenn gilt: $y'(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Sa 30.06.2007 | | Autor: | myo |
Ja, das kenn ich auch, aber ich hab da noch sowas im Hinterkopf, dass das [mm]\forall x \in \IR[/mm] gelten muss. Oder ist das hier egal, weil ich das nur lokal in dem gegebenen Punkt (also für das eine [mm]x[/mm]) zeigen soll und alles (also auch die Auflösung nach [mm]y(x)[/mm] in einem anderen Punkt schon wieder ganz anderst ist, also hier nicht relevant ist?
Also zumindest, wenn das so wäre dann stimmt das weil [mm]y'(0) = 3 \ge 0[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst auf das Wort "lokal" in der Frage achten. und ja wegen y'=3 ist y in 0 wachsend und dann auch in einer Umgebung, wegen der Stetigkeit der Abl.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Sa 30.06.2007 | | Autor: | myo |
Ok, danke nun hab ich es verstanden mit der ersten Aufgabe.
zu Aufgabe 2
Hab das ganze nun nochmal alles durchdacht.
Ich glaub das ich da einen Denkfehler gemacht hab oder, dass das so nicht ganz stimmt wie ich es mir vorgestellt hab.
Ich hab ja meine Funktion [mm]f(x,y,z)[/mm] nach [mm]f(x,y,z(x,y))[/mm] (das schreibt man schon so?) aufgelöst.
Dann hab ich meine aufgelöste Funktion ja nach x und nach y differenziert und somit nach umstellen der Gleichung ja die Werte von [mm]z_y(x,y)[/mm] und [mm]z_x(x,y)[/mm] im gegebenen Punkt erhalten.
Der Gradient einer Funktion sind ja deren erste Ableitungen. Also muss ich ja nun in die Ableitungen meiner aufgelösten Funktion die Werte des gegebenen Punktes einsetzen und erhalte dann den Gradient der Funktion im gegebenen Punkt. Dazu brauche ich ja aber auch die Werte von [mm]z_y(x,y)[/mm] und [mm]z_x(x,y)[/mm] die ich berechnet habe.
Damit will ich sagen das nicht die Werte von [mm]z_y(x,y)[/mm] und [mm]z_x(x,y)[/mm] die ich berechnet habe der Gradient sind wie ich in meinem ersten Beitrag dachte, sondern der Gradient im Punkt (1,1) die ersten Ableitungen der Funktion sind mit den eingesetzten Werten x=1, y=1 UND meinen berechneten Werten von [mm]z_y(x,y)[/mm], [mm]z_x(x,y)[/mm] usw ist.
Stimmt das nun so wie ich mir das denke?
zu Aufgabe 3
Um zu beweisen das die lokalen Auflösungen nach [mm]y_1, y_2[/mm] existieren muss ich ja meine beiden Gleichungen des Gleichungssystems nach [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] ableiten und dann meinen Punkt einsetzen usw wie oben geschrieben. Dabei erhalte ich ja dann eine Matrix.
Um nun die Werte von [mm]y_1(x), y_2(x)[/mm] im gegebenen Punkt zu erhalten muss ich ja nun nach der/den Variablen differenzieren nach denen nicht aufgelöst wurde und somit hab ich ja wieder nur meine zwei Gleichungen in diesem Fall und keine Matrix, oder?
Falls das stimmt kann ich dann meine beiden nach [mm]y_1, y_2[/mm] aufgelösten Gleichungen [mm]f_1(x,y_1,y_2), f_2(x,y_1,y_2)[/mm] des Gleichungssystems nun nach x differenzieren und dann meinen gegebenen Punkt einsetzen um an die Werte von [mm]{y_1}'(x), {y_2}'(x)[/mm] zu kommen? Denn dann habe ich ja zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ([mm]{y_1}'(x), {y_2}'(x)[/mm]), welche ich ich eindeutig lösen kann um die Werte von [mm]{y_1}'(0), {y_2}'(0)[/mm] im gegebenen Punkt (x=0) zu bestimmen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo myo
Jetzt hast du dir zuviel Gedanken gemacht, die ich nicht mehr ganz verfolgen kann!
Aufgabe 2 war in der ersten Auflage richtig. gesucht ist der grad von z(x,y) sonst macht das keinen Sinn, erstens ist gefragt nach grad an der Stelle (1,1), 2. hättest du grad von der 3 dim. fkt f(x,y,z) in irgend einem Pkt ja direkt usrechen können!
Genauso war Nr 3 richtig, du hast ja y1' und y2' richtig berechnet! wenigstens seh ich in deiner Beschreibung keinen Fehler.
Ziel eures Profs mit diesen Aufgaben ist es euch damit vertraut zu machen, dass uch wenn man eine fkt, nicht explizit nach etwa y auflösen kann, man dennoch die Ableitung zwar nicht als explizite fkt, so doch in jedem gewünschten punkt, ausrechnen kann.
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Sa 30.06.2007 | | Autor: | myo |
Ok, du hast recht. Das waren nun echt ein wenig zu viel Gedanken, sodass ich mich selbst verwirrst habe..
Bei der zweiten Aufgabe war das echt schon das Ergebnis was ich hatte. Wenn ich drei Variablen (oder eine aufgelöst in den anderen) gehabt hätte, hätte ich ja echt sofort das Ergebnis berechnen können und nichts mehr auflösen müssen. Es war schon der Gradient von [mm]z(x,y)[/mm] gefragt, nach nochmaliger Überlegung
Die dritte Aufgabe hatte ich nur nochmal umformuliert oder besser gesagt gefragt ob ich das auch so machen darf wie ich das eben gemacht habe oder mir so vorgestellt habe. War also nichts neues an Überlegungen dabei oder so.
Gut, dann müsste das ja nun alles soweit passen sofern ich mich nicht verrechnet habe und ich hab verstanden wie es genau funktioniert/was zu tun ist.
Also Danke für die Hilfe!
Gruß
myo
[Edit] Sollte nur eine Mitteilung und keine Frage werden[/Edit]
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