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Lokale Minima/Maxima: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:51 Fr 17/04/2015
Author: dodo1924

Aufgabe
Untersuche die Funktion
[mm] f:\IR^2->^\IR, f(x,y):=(y-x^2)^2+x^5 [/mm]
auf lokale Minima und Maxima!

Also, mir ist das Prinzip bekannt, wie man Extremstellen im [mm] \IR^2 [/mm] findet!

Hab hier erst einmal die Hesse-Matrix aufgestellt:

[mm] f_x(x,y)=5x^4-4xy+4x^3 [/mm]
[mm] f_y(x,y)=2y-2x^2 [/mm]

[mm] f_{xx}(x,y)=20x^3-4y+12x^2 [/mm]
[mm] f_{yy}(x,y)=2 [/mm]
[mm] f_{xy}=f_{yx}=-4x [/mm]

nun gilt ja als notwendige Bedingung für eine Extremstelle, dass
[mm] x_0 [/mm] Extremstelle [mm] \gdw \nabla f(x_0)=0 [/mm]

also das [mm] f_x(x_0)=f_y(x_0)=0 [/mm]

im konkreten Fall:
[mm] 5x^4-4xy+4x^3=2y-2x^2=0 [/mm]

dies ist (wenn ich mich nicht verrechnet habe) nur dann der Fall, wenn x=y=0

in die Hesse-Matrix eingesetzt ergibt das dann:
[mm] Hf(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]
det(Hf(0,0))=0

lt Vorlesung liefert hier Hf keine Entscheidung, ob es sich bei (0,0,f(0,0)) um ein Maximum oder Minimum handelt!
Wie kann ich nun prüfen, ob es sich beim Punkt um eine Extremstelle handelt oder nicht? Durch probieren?
und kann es sein, dass diese Funktion überhaupt keine Extremstellen hat?

--------------------------------------------------------------------
da hier [mm] x^5 [/mm] die höchste Potenz ist und diese keine gerade Zahl, kann ich ja auch schon mal Schließen, dass die Funktion kein globales Minimum bzw Maximum hat (da sie nach oben und unten ungebrenzt ist), oder?

die Funktion geplotet mit google:
[mm] https://www.google.de/?gws_rd=ssl#q=%28y-x^2%29^2%2Bx^5 [/mm]


        
Bezug
Lokale Minima/Maxima: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:06 Fr 17/04/2015
Author: Thomas_Aut

Hallo,
> Untersuche die Funktion
>  [mm]f:\IR^2->^\IR, f(x,y):=(y-x^2)^2+x^5[/mm]
>  auf lokale Minima
> und Maxima!
>  Also, mir ist das Prinzip bekannt, wie man Extremstellen
> im [mm]\IR^2[/mm] findet!
>  
> Hab hier erst einmal die Hesse-Matrix aufgestellt:
>  
> [mm]f_x(x,y)=5x^4-4xy+4x^3[/mm]
>  [mm]f_y(x,y)=2y-2x^2[/mm]
>  
> [mm]f_{xx}(x,y)=20x^3-4y+12x^2[/mm]
>  [mm]f_{yy}(x,y)=2[/mm]
>  [mm]f_{xy}=f_{yx}=-4x[/mm]
>  
> nun gilt ja als notwendige Bedingung für eine
> Extremstelle, dass
>  [mm]x_0[/mm] Extremstelle [mm]\gdw \nabla f(x_0)=0[/mm]
>  
> also das [mm]f_x(x_0)=f_y(x_0)=0[/mm]
>  
> im konkreten Fall:
>  [mm]5x^4-4xy+4x^3=2y-2x^2=0[/mm]
>  
> dies ist (wenn ich mich nicht verrechnet habe) nur dann der
> Fall, wenn x=y=0
>  
> in die Hesse-Matrix eingesetzt ergibt das dann:
>  [mm]Hf(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>  det(Hf(0,0))=0
>  
> lt Vorlesung liefert hier Hf keine Entscheidung, ob es sich
> bei (0,0,f(0,0)) um ein Maximum oder Minimum handelt!
>  Wie kann ich nun prüfen, ob es sich beim Punkt um eine
> Extremstelle handelt oder nicht? Durch probieren?
>  und kann es sein, dass diese Funktion überhaupt keine
> Extremstellen hat?

betrachte die Funktionswerte in der Umgebung deines Punktes.

>  
> --------------------------------------------------------------------
>  da hier [mm]x^5[/mm] die höchste Potenz ist und diese keine gerade
> Zahl, kann ich ja auch schon mal Schließen, dass die
> Funktion kein globales Minimum bzw Maximum hat (da sie nach
> oben und unten ungebrenzt ist), oder?
>  
> die Funktion geplotet mit google:
>  [mm]https://www.google.de/?gws_rd=ssl#q=%28y-x^2%29^2%2Bx^5[/mm]
>  

Gruß Thomas


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Lokale Minima/Maxima: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:01 Fr 17/04/2015
Author: dodo1924

Naja, bei [mm] f(x,y):=(y-x^2)^2+x^5 [/mm] gilt ja schon mal

a) das [mm] (y-x^2)^2\ge0, [/mm] da es sich hier ja um eine Quadratzahl handelt

b) dass [mm] f(x,y)\ge0 [/mm] für [mm] |x|\le1 [/mm]

also liegt bei (0,0,0) ein lokales Minimum vor!

gibt es trotzdem weitere Extrema? Oder kann man begründen, dass es keine mehr gibt, weil es keine kritischen Punkte mehr gibt?

Bezug
                        
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Lokale Minima/Maxima: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:03 Fr 17/04/2015
Author: rmix22


> Oder kann man begründen,
> dass es keine mehr gibt, weil es keine kritischen Punkte
> mehr gibt?

Wenn man vom Rand absieht, ja.


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Lokale Minima/Maxima: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:04 Fr 17/04/2015
Author: chrisno


> Naja, bei [mm]f(x,y):=(y-x^2)^2+x^5[/mm] gilt ja schon mal
>  
> a) das [mm](y-x^2)^2\ge0,[/mm] da es sich hier ja um eine
> Quadratzahl handelt
>  
> b) dass [mm]f(x,y)\ge0[/mm] für [mm]|x|\le1[/mm]

probier mal: y = 0,01, x = -0,1

>  
> also liegt bei (0,0,0) ein lokales Minimum vor!
>  
> gibt es trotzdem weitere Extrema? Oder kann man begründen,
> dass es keine mehr gibt, weil es keine kritischen Punkte
> mehr gibt?


Bezug
                                
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Lokale Minima/Maxima: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:19 Fr 17/04/2015
Author: dodo1924

wäre dann -0,00001<0 :P
dann müsste wohl noch gelten, dass [mm] f(x,y)\le0 [/mm] wenn zusätzlich [mm] y\not=x^2 [/mm]

Also ist (0,0,0) doch kein lokales Minimum?
Wie komme ich dann auf die Extremwerte?


Bezug
                                        
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Lokale Minima/Maxima: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:44 Sa 18/04/2015
Author: chrisno


> wäre dann -0,00001<0 :P
>  dann müsste wohl noch gelten, dass [mm]f(x,y)\le0[/mm] wenn
> zusätzlich [mm]y\not=x^2[/mm]

Das nützt doch nichts. Eine kleine Änderung an y holt das Problem wieder hervor.

>  
> Also ist (0,0,0) doch kein lokales Minimum?

Das ist noch nicht klar. Ich habe ja nur ein Beispiel angegeben. Du musst zeigen dass es eine Umgebung von 0/0 gibt, in der alle Werte größer als 0 sind, oder aber dass es eine solche Umgebung nicht gibt.
Mein Tipp: schau Dir mal die partielle Ableitung nach x an, für den Fall, dass y=0.

>  Wie komme ich dann auf die Extremwerte?

Du weißt schon, dass es nur diesen einen Punkt als Kandidaten gibt. Nun untersuchst Du ihn zuende.

>  


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Lokale Minima/Maxima: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:33 Sa 18/04/2015
Author: dodo1924

[mm] f_x(x,0)=5x^4+4x^3 [/mm]
für [mm] -0,8\le x\le0 [/mm] gilt, dass [mm] f_x(x,0)\le0 [/mm]
für den Rest [mm] f_x(x,0)\ge0 [/mm]
bei [mm] -\bruch{3}{5} [/mm] hätte [mm] f_x(x,0) [/mm] ein Minimum!

Aber was sagt mir das jetzt über meine Ausgangsfunktion aus?

wenn ich das richtig verstandne habe, liegt in einem Punkt dann ein Min/Max vor, wenn es eine Kugel (im [mm] \IR^2) [/mm] gibt, in der der Funktionswert dieses Punktes [mm] x_0 \le [/mm] bzw [mm] \ge [/mm] aller anderen Werte in der Kugel ist.

Bezug
                                                        
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Lokale Minima/Maxima: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:43 Sa 18/04/2015
Author: chrisno

Mein Hinweis auf die partielle Ableitung war Mist. Die Antwort von Fred klärt die Lage.

Bezug
        
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Lokale Minima/Maxima: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:42 Fr 17/04/2015
Author: rmix22

Ein Eigenwert ist 0, der andere 2.
Es handelt sich daher um einen parabolischen Punkt.

[Dateianhang nicht öffentlich]



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Lokale Minima/Maxima: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:58 Sa 18/04/2015
Author: fred97

Es ist f(0,0)=0 und


  [mm] f(x,x^2)=x^5. [/mm]

Für x>0 ist also [mm] f(x,x^2)>f(0,0) [/mm]

und

für x<0 ist [mm] f(x,x^2)
f hat also in (0,0) kein Extremum.

FRED

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