Lokale/globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Bestimme alle lokalen Extrema von f: [mm] IR^2-->IR, [/mm] f(x,y)=xy(3-x-y). Besitzt f globale Extrema auf [mm] IR^2? [/mm] |
Hallo,
also ich habe gradf(x,y)=(y(3-y-2x), x(3-x-2y)) und als kritische Punkte (0,0), (3,0) und (0,3). Und als Hesse Matrix Hess [mm] f(x,y)=\pmat{ -2y & 3-2x-2y \\ 3-2x-2y & -2x }
[/mm]
Stimmt das soweit? Weil die Hesse Matrix in allen ausgerechneten Punkten indefinit ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Mi 30.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme alle lokalen Extrema von f: [mm]IR^2-->IR,[/mm]
> f(x,y)=xy(3-x-y). Besitzt f globale Extrema auf [mm]IR^2?[/mm]
> Hallo,
>
> also ich habe gradf(x,y)=(y(3-y-2x), x(3-x-2y)) und als
> kritische Punkte (0,0), (3,0) und (0,3).
Da fehlt noch einer: (1,1)
> Und als Hesse
> Matrix Hess [mm]f(x,y)=\pmat{ -2y & 3-2x-2y \\ 3-2x-2y & -2x }[/mm]
>
> Stimmt das soweit? Weil die Hesse Matrix in allen
> ausgerechneten Punkten indefinit ist...
Das stimmt nicht .
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Im Punkt (1,1) liegt ein lokales Maximum vor. Im punkt (0,0) ist die Hesse Matrix indefinit, und im Punkt (3,0) ist doch [mm] \pmat{ 0 & -3 \\ -3 & -6 } [/mm] bzw. [mm] \pmat{ -6 & -3 \\ -3 & 0 }, [/mm] also ist doch jeweils [mm] ad-b^2 [/mm] <0, dann ist die Matrix doch indefinit...
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Hallo rollroll,
> Im Punkt (1,1) liegt ein lokales Maximum vor. Im punkt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (0,0) ist die Hesse Matrix indefinit, und im Punkt (3,0)
> ist doch [mm]\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & -6 }[/mm] bzw. [mm]\pmat{ -6 & -3 \\ -3 & 0 },[/mm]
> also ist doch jeweils [mm]ad-b^2[/mm] <0, dann ist die Matrix doch
> indefinit...
Ja, die Matrix ist in den letzten 3 Fällen indefinit.
Es liegen dort keine Extrema vor,
jedoch handelt es sich hier um Sattelpunkte,
da die Determinante der Hessematrix an den
besagten Stellen < 0 ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Der zugehörige Funktionswert zum Maximum ist dann f(1,1)=1. Wie sehe ich jetzt ob f globale Extrema hat?
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Hallo rollroll,
> Der zugehörige Funktionswert zum Maximum ist dann
> f(1,1)=1. Wie sehe ich jetzt ob f globale Extrema hat?
Untersuche die Ränder von [mm]\IR^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mi 30.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo rollroll,
>
> > Der zugehörige Funktionswert zum Maximum ist dann
> > f(1,1)=1. Wie sehe ich jetzt ob f globale Extrema hat?
>
>
> Untersuche die Ränder von [mm]\IR^{2}[/mm]
Was soll das denn sein ????
FRED
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 30.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Der zugehörige Funktionswert zum Maximum ist dann
> f(1,1)=1. Wie sehe ich jetzt ob f globale Extrema hat?
Betrachte f(x,x) für x [mm] \to \infty [/mm] und für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Wie kommt man hierauf? Weil f nur in einem Punkt ein Extremum hat? Und weil dieser Punkt (1,1) ist, betrachtet man dann f(x,x)? Was wäre z.B. wenn der Punkt (3,4) wäre?
f(x,x)= [mm] -2x^3+3x^2 [/mm]
für x gegen [mm] \infty [/mm] geht das gegen - [mm] \infty
[/mm]
für x gegen - [mm] \infty [/mm] geht das gegen [mm] \infty.
[/mm]
Was sagt mir das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 30.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wie kommt man hierauf?
Durch Ausprobieren.
> Weil f nur in einem Punkt ein
> Extremum hat? Und weil dieser Punkt (1,1) ist, betrachtet
> man dann f(x,x)? Was wäre z.B. wenn der Punkt (3,4)
> wäre?
>
> f(x,x)= [mm]-2x^3+3x^2[/mm]
>
> für x gegen [mm]\infty[/mm] geht das gegen - [mm]\infty[/mm]
> für x gegen - [mm]\infty[/mm] geht das gegen [mm]\infty.[/mm]
>
> Was sagt mir das jetzt?
Eben dass es keine globalen Extrema gibt !!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
> > Wie kommt man hierauf?
>
> Durch Ausprobieren.
Könntest du das bitte etwas präzisieren! Sonst weiß ich bei einer anderen Aufgabe wenn es um globale Extrema geht, nicht was ich machen soll..
> > Weil f nur in einem Punkt ein
> > Extremum hat? Und weil dieser Punkt (1,1) ist, betrachtet
> > man dann f(x,x)? Was wäre z.B. wenn der Punkt (3,4)
> > wäre?
Hängt das damit zusammen?
> > f(x,x)= [mm]-2x^3+3x^2[/mm]
> >
> > für x gegen [mm]\infty[/mm] geht das gegen - [mm]\infty[/mm]
> > für x gegen - [mm]\infty[/mm] geht das gegen [mm]\infty.[/mm]
> >
> > Was sagt mir das jetzt?
>
> Eben dass es keine globalen Extrema gibt !!!!
Das ist jetzt klar.
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mi 30.07.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast in lokales Extremum gefunden. Nehmen wir an ein Maximum. Nun willst Du prüfen, ob es ein globales Extremum ist. Das heißt, die Funktion darf nirgendwo größer als an dieser Stelle werden.
Nun schaust Du den Funktionsterm an. Wie lässt sich der möglichst groß machen? Wie musst Du x und y dafür verändern? Wird irgendwo durch x geteilt, dann wird dieser Term für x -> groß werden. Wird das Ganze mit x multipliziert, dann wird es für x -> infty vielleicht groß oder klein werden, je nach Vorzeichen und anderen Effekten.
Konkret: f(x,y)=xy(3-x-y)
wie muss x verändert werden, damit der Term möglichst groß wird?
$x [mm] \to \infty$ [/mm] alleine zu betrachten reicht nicht, y = 0 kann ja alles auf null halten. Also setze ich y = 1. Dann steht da f(x)=x(2-x). Wird nun x immer größer, dann sieht man sofort, dass f(x) über alle Grenzen kleiner wird. Also $f(x) [mm] \to -\infty$. [/mm] Nun muss ich nur noch finden, dass irgendwie auch f(x) über alle Grenzen wachsen kann. Dann kann es schon kein globales Extremum mehr geben. In diesem Fall gibt es das als Geschenk. Mit y = -1 ist der Fall geklärt.
Das ist die einfachste Variante. Es kann ja auch sein, dass die Funktion in einer Richtung zwar immer monoton steigt, aber dabei nach oben begrenzt ist. Dann reicht es schon aus, einen Funktionswert zu finden, der größer als das lokale Maximum ist. Schon kann es kein globales mehr sein.
Wieder für f(x,y)=xy(3-x-y). Im lokalen Maximum f(1,1)=1(3-1-1) = 1
Wie schaffe ich es f(x,y) größer als 1 zu machen? Einfach große Werte für x und y einsetzen geht nicht, da schlagen die Minuszeichen in der Klammer zu. Also zieht wieder der Trick, mit y = -1.
Nun setze ich x = 4 und probiere: f(4,-1)= -4(3-4+1) = 0, Pech auch.
Also x = 10: f(10,-1)= -10(3-10+1) = 60. Fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok, aber wer sagt mir, dass es nicht noch größere Funktionswerte gibt für entsprechend gewählte x und y?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ok, aber wer sagt mir, dass es nicht noch größere
> Funktionswerte gibt für entsprechend gewählte x und y?
Es ging hier nur um die Möglichkeit nachzuweisen, dass das durch Gradient Null setzen gefundene lokale Maximum kein globales ist. Dazu reicht es zu zeigen, dass es zumindest ein Paar (x;y) gibt, für das f(x,y) größer als der Funktionswert im gefundenen lokalen Maximum ist.
Natürlich wäre dadurch das globale Maximum noch nicht gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok. Verstanden. Aber wie gehe ich jetzt bei solchen Aufgaben vor um zu prüfen on es ein globales extremum gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ok. Verstanden. Aber wie gehe ich jetzt bei solchen
> Aufgaben vor um zu prüfen on es ein globales extremum
> gibt?
Das Auffinden globaler Extrema ist für Funktionen in mehreren Variablen nicht immer einfach, wenn es keine constraints bezüglich der Variablen gibt.
Ein Spezialfall liegt vor, wenn f(x,y) stetig ist und unabhängig von x und y f_xx(x,y) immer >0 oder immer <0 ist. In diesem Fall ist das lokale Extremum auch ein globales.
Liegen Einschränkungen für die Argumente x und y vor müssen eben auch noch die Randextrema gesucht werden. Falls x und y nur aus bestimmten Intervallen stammen sollen können etwa die vier Eckpunkte untersucht werden und die 4 Randkurven.
Bei Nebenbedingungen wie [mm] $x^2+y^2=16$ [/mm] (also uns interessieren nur Punkte der Funktion f die auf dieser Drehzylinderfläche liegen) hilft eine Methode welche eine Hilfsvariable (Lagrange-Multiplikator) einführt und damit die sog. Lagrange-Funktion kunstruiert.
Falls das von dir erwartet wird, findest du das sicher in deinen Skripten.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:15 Do 31.07.2014 | | Autor: | rollroll |
D.h. wenn ich wie in diesem Fall keine weiteren Bedingungen gegeben habe , dass ich stets f_xx (x, y) betrachte? Ich verstehe nämlich immer noch nicht wie fred auf seinen Ansatz gekommen ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Do 31.07.2014 | | Autor: | chrisno |
Zu Freds Anatz:
Die Funktion ist in x und y symmetrisch. Dann kann man doch einfach mal ausprobieren, was passiert, wenn man x und y gleich setzt. Dann hat man nur noch eine Variable und das Ganze ist übersichtlicher. Ich habe eben y = 1 gesetzt um das übersichtlicher zu bekommen. Es können auch Fälle vorkommen, in denen y = 1/x zum Erfolg führt. Es geht doch immer nur um eines: Einen Nachweis finden, dass es Werte gibt, die größer oder kleiner als das lokale Maximum oder Minimum sind. Schon ist das lokale kein globales. Es gilt: Der Erfolg rechtfertigt den Versuch. Den Versuch legt man so an, dass man mit minimalem Aufwand zum Erfolg kommt. Dabei hilft Routine im Abschätzen des Verhaltens von Funktionen.
In Freds Ansatz stand nichts von [mm] $f_{xx}$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Do 31.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Irgendwie habe ich das Gefühl keiner will mich verstehen. Mir ist völlig klar wie ich begründe dass das lokale Max kein globales max ist. Die Frage ist ob die Funktion nicht trotzdem ein globales max besitzen kann. Z.B. an den Rädern des Definitionsbereichs. Hier [mm] IR^2.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Irgendwie habe ich das Gefühl keiner will mich verstehen.
Doch, ich hab Dich schon gestern verstanden. Es scheint, als stündest Du auf 1000 Schläuchen.
> Mir ist völlig klar wie ich begründe dass das lokale Max
> kein globales max ist. Die Frage ist ob die Funktion nicht
> trotzdem ein globales max besitzen kann.
Die Frage hab ich Dir eigentlich gestern schon beantwortet .....
Also:
Nehmen wir an , es gäbe ein [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] mit
(*) $f(x,y) [mm] \le f(x_0,y_0)$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$.
[/mm]
(Wir hehmen also an, f hätte in [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein globales Maximum.)
Aus (*) würde dann insbesondere folgen:
(**) $f(x,x) [mm] \le f(x_0,y_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Nun wissen wir seit gestern:
(***) $f(x,x) [mm] \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$.
[/mm]
Wenn Du Dir nun (**) und (***) genau anschaust, solltest Du den Widerspruch sehen !
>Z.B. an den
> Rädern des Definitionsbereichs. Hier [mm]IR^2.[/mm]
Das ist doch völliger Quatsch ! Was sollen denn die "Ränder" des [mm] \IR^2 [/mm] sein ????
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Wie Du noch sehen kannst, dass obiges f kein globales Maximum haben kann:
Hätte f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein globales Maximum, so hätten wir:
[mm] gradf(x_0,y_0)=(0,0).
[/mm]
Die stationären Stellen von f kennst Du. Eine davon ist (1,1) , da liegt ein lokales Maximum von f. In den anderen stationären Stellen hat f keine lokalen Extremwerte.
Also muss [mm] (x_0,y_0)=(1,1) [/mm] sein.
Damit hätten wir den Widerspruch
$10= f(10,-1) [mm] \le f(x_0,y_0)=f(1,1) [/mm] =1$
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Do 31.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> D.h. wenn ich wie in diesem Fall keine weiteren Bedingungen
> gegeben habe , dass ich stets f_xx (x, y) betrachte? Ich
> verstehe nämlich immer noch nicht wie fred auf seinen
> Ansatz gekommen ist.
1) Fred97 hat nichts von [mm] $f_{xx}$ [/mm] geschrieben. Dies Ableitung betrachtest du du ja ohnehin immer an den stationären Stellen (es ist ja der erste Hauptminor) und wenn der Wert an der Stelle negativ ist und die Determinante der Hesse-Matrix (zweiter Hauptminor) positiv, dann liegt ein relatives Maximum vor. Ist (Spezialfall) der erste Hauptminor immer (für alle x,y) negativ, dann kann daraus geschlossen werden, dass der stationäre Punkt nicht nur ein lokales sondern sogar ein absolutes Maximum ist. Dies ist speziell bei Funktionen in genau zwei unabhängigen Variablen so. Ich hab ein wenig für dich gesucht und die Formulierung dieses Spezialfalls für Funktionen in mehr als zwei unabhängigen Variablen findest du etwa ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 9, Folie 25. Vielleicht findest du in diesem Handout auch noch andere für dich nützliche Informationen.
Der erwähnte Spezialfall liegt bei deinem Beispiel natürlich nicht vor!
2) Wenn du keine Einschränkungen für x und y hast, gibt es kein Kochrezept. Der einfachste Fall liegt zweifellos vor, wenn, so wie im Falle deines Beispiels, klar ersichtlich ist, dass die Funktion für geeignete "Richtungen" über alle Grenzen strebt und dafür gibt es bei deiner Funktion sehr viele Möglichkeiten. Fred97 hat dir eine davon, chrisno dann weitere gezeigt. Fred97 hat dir in seiner letzten Antwort nochmals erklärt, warum es kein globales Maximum geben kann, wenn die Funktionswerte auch nur in einer "Richtung" über alle Grenzen streben. Ob das nun
[mm] $\limes_{x\rightarrow{-\infty}}f(x,x)=\limes_{x\rightarrow{-\infty}}\left(x^2*(3-2*x)\right)\rightarrow{\infty}$
[/mm]
ist oder
[mm] $\limes_{y\rightarrow{\infty}}f(-1,y)=\limes_{y\rightarrow{\infty}}\left(y*(y-4)\right)\rightarrow{\infty}$
[/mm]
ist ja unerheblich.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Do 31.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke! Ich glaube, ich stand wirklich auf 1000 Schläuchen... Sorry!
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