Lokalisierung, Modu. ,Quotient < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, ich habe einen kommutativen Ring $R$ (mit 1), eine multiplikativ abgeschlossene Menge $S [mm] \subseteq [/mm] R$ (d.h. 1 [mm] \in [/mm] S und [mm] a,b\in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] S), einen $R$-Modul $M$ und einen Untermodul $N$ von $M$.
Ich habe nun die kanonische Abbildung [mm] $\pi: [/mm] M [mm] \rightarrow [/mm] M/N, m [mm] \mapsto \bar{m}=m+N$. [/mm] Diese Abbildung liefert mir ja dann eine surjektive, $R$-lineare Abbildung [mm] S^{-1}\pi [/mm] auf der lokalisierten Ringen, d.h. [mm] $S^{-1}\pi: S^{-1}M \rightarrow S^{-1}M/N, \frac{m}{s} \mapsto \frac{\bar{m}}{s}$. [/mm] Ich soll nun zeigen, dass [mm] $ker(S^{-1}\pi)=S^{-1}N$ [/mm] gilt.
Also wollte ich das ganz klassisch mit 2 Inklusionen machen. Die eine Richtung ist einfach, [mm] $S^{-1}N \subseteq ker(S^{-1}\pi)$. [/mm] Bei der anderen Richtung weiß ich nicht weiter. Sei $x [mm] \in ker(S^{-1}\pi), [/mm] x = [mm] \frac{m}{s}$. [/mm] Dann gilt [mm] $S^{-1}\pi(x)=0$
[/mm]
$ [mm] \gdw \frac{\bar{m}}{s} [/mm] = [mm] \frac{\bar{0}}{1}$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] s' [mm] \in [/mm] S: [mm] s'(1\bar{m}-s\bar{0})=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] s' [mm] \in [/mm] S: [mm] \overline{s'm}=\bar{0}$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] s' [mm] \in [/mm] S: s'm [mm] \in [/mm] N$.
Daraus sollte ich ja nun m [mm] \in [/mm] N folgern können, aber das ist ja im Allgemeinen nicht richtig [mm] (M=\IZ, N=2\IZ, [/mm] m=1, s'=2, danke tobit nochmal). Weiß jemand, wie ich die andere Inklusion zeigen kann?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mo 22.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Teufel,
wahrscheinlich habt ihr [mm] $S^{-1}M$ [/mm] als Menge von Äquivalenzklassen auf [mm] $M\times [/mm] S$ eingeführt?
In diesem Sinne gilt genau genommen gar nicht [mm] $S^{-1}N\subseteq S^{-1}M$. [/mm] Für [mm] $n\in [/mm] N$, [mm] $s\in [/mm] S$ hat [mm] $\bruch{n}{s}\in S^{-1}M$ [/mm] nämlich i.A. mehr Repräsentanten als [mm] $\bruch{n}{s}\in S^{-1}N$.
[/mm]
Man kann jedoch [mm] $S^{-1}N$ [/mm] kanonisch als Untermodul von [mm] $S^{-1}M$ [/mm] auffassen mittels der wohldefinierten Einbettung
[mm] $\varphi\colon S^{-1}N\to S^{-1}M,\quad \bruch{n}{s}\mapsto\bruch{n}{s}$.
[/mm]
Im Sinne dieser Identifikation ist die Behauptung [mm] $\operatorname{ker}(S^{-1}\pi)=S^{-1}N$ [/mm] zu verstehen. Eigentlich ist also
[mm] $\operatorname{ker}(S^{-1}\pi)=\varphi(S^{-1}N)$
[/mm]
zu zeigen.
> Bei der anderen Richtung weiß ich nicht weiter. Sei [mm]x \in ker(S^{-1}\pi), x = \frac{m}{s}[/mm].
> Dann gilt [mm]S^{-1}\pi(x)=0[/mm]
> [mm]\gdw \frac{\bar{m}}{s} = \frac{\bar{0}}{1}[/mm]
> [mm]\gdw \exists s' \in S: s'(1\bar{m}-s\bar{0})=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \exists s' \in S: \overline{s'm}=\bar{0}[/mm]
> [mm]\gdw \exists s' \in S: s'm \in N[/mm].
>
> Daraus sollte ich ja nun m [mm]\in[/mm] N folgern können, aber das
> ist ja im Allgemeinen nicht richtig [mm](M=\IZ, N=2\IZ,[/mm] m=1,
> s'=2, danke tobit nochmal). Weiß jemand, wie ich die
> andere Inklusion zeigen kann?
Fange genauso an, wie du es getan hast.
Was möchtest du zeigen?
[mm] $\bruch{m}{s}\in \varphi(S^{-1}N)$, [/mm] d.h. es existieren [mm] $n\in [/mm] N$, [mm] $t\in [/mm] S$ mit [mm] $\bruch{m}{s}=\bruch{n}{t}$ [/mm] (in [mm] $S^{-1}M$).
[/mm]
Für n hast du mit $s'm$ schon mal einen naheliegenden Kandidaten. Ein passendes t findest du bestimmt auch!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal und vielen lieben Dank!
Das mit der Einbettung hatte ich gar nicht auf dem Radar. Aber du hast natürlich recht. So klappt auch alles vernünftig. Mein t habe ich auch gefunden. :)
|
|
|
|
