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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 05.12.2010 | | Autor: | Julia92 |
Hallo zusammen,
ich knappere hier an einer Aufgabe, hat jemand ein paar Tipps:
Zuerst die Aufgabe ( sie stammt aus einem Übungsblatt von unser Mathelehrerin)
"In der Volkswirtschaft wird unter anderem die Verteilung von Vermögen (Einkommen, Steueraufkommen, Grundbesitz etc.) untersucht. Zur anschaulichen Darstellung solcher Verteilungen sind LORENZ-Kurven üblich.
Verläuft der Graph einer LORENZ-Funktion zum Beispiel durch den Punkt (0,4 | 0,1), so bedeutet dies, dass die ärmeren 40 % der Bevölkerung zusammen über 10 % des gesamten Vermögen verfügen.
Auf der x-Achse ist also der Bevölkerungsanteil nach wachsendem Vermögen geordnet, auf der y-Achse (für den jeweiligen Bevölkerungsanteil) der zugehörige Anteil am gesamten Vermögen aufgetragen.
a) Bestimmen Sie für eine Verteilung, bei der die ärmeren 40 % der Bevölkerung 10 % des
Gesamtvermögens besitzen, den Term der LORENZ-Funktion als Potenzfunktion
vom Typ f(x) = [mm] x^k [/mm] .
Ermitteln Sie den Vermögensanteil der reichsten 20 % der Bevölkerung bei dieser
Verteilung.
b) Begründen Sie folgende Eigenschaften aller LORENZ-Funktionen f aus dem
Sachzusammenhang:
A: Der Definitionsbereich ist [0 ; 1] und es gilt f(0) = 0 und f(1) = 1.
B: Sie haben im Inneren des Intervalls [0;1] keine negativen Funktionswerte.
C: Sie sind im Inneren des Intervalls [0;1] monoton wachsend und linksgekrümmt.
c) Weisen Sie nach, dass die Exponentialfunktion b(x) = 2 • 1,5x – 2 eine Funktion mit
diesen Eigenschaften ist.
d) Beschreiben Sie die LORENZ-Kurve für eine gleichmäßige Vermögensverteilung. "
bei der a) Hab ich einfach durch den gegebenen Punkt P (0,4 / 0,1) k ermittelt. k=2,513
Die zweite Aufgabe ist soweit auch klar, da muss ich doch in meine ausgerechnete Funktion, den x wert (0,8) einsetzen und erhalte dann einen Prozentsatz von 57%. Stimmt das soweit?
zur b) A- da hängt es schon ein wenig- kann man durch Einsetzen der Definitonsbereiche sagen, dass egal welchen Wert k annimmt, der y derselbe ist. Da [mm] 0^k [/mm] immer null ist und [mm] 1^k [/mm] immer eins. Ist das ausreichend, um die eigenschaft zu begründen?
B-Da das Intervall für den x- Wert zwischen 0 und 1 gewählt ist, kann die Funktion nicht negativ werden, egal ob k negativ oder positv ist. Kann man so dagen?
C-diese behauptung ist doch durch die erste ableitung zu begründen. die ableitung ist positv und so ist dann auch die Steigung. Aber wie erklärt man die Linkskrümmung?
c) würde ich ebenso begründen, wie ich eben versucht habe, die Potenzfunktion zu argumetieren, nur das die basis nun gegeben ist und x exponent ist.
d)Ich habe mir da die lineare Funktion y=x vorgestellt. Die steigung ist konstant-> aufgrund der regelmäßigkeit
Ist ein wenig verwirrend, wie ich das hier strukturiert habe.
Danke schon mal an die, die sich das hier durchgelesen haben :D
Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
...>
> "In der Volkswirtschaft wird unter anderem die Verteilung
> von Vermögen (Einkommen, Steueraufkommen, Grundbesitz
> etc.) untersucht. Zur anschaulichen Darstellung solcher
> Verteilungen sind LORENZ-Kurven üblich.
> Verläuft der Graph einer LORENZ-Funktion zum Beispiel
> durch den Punkt (0,4 | 0,1), so bedeutet dies, dass die
> ärmeren 40 % der Bevölkerung zusammen über 10 % des
> gesamten Vermögen verfügen.
> Auf der x-Achse ist also der Bevölkerungsanteil nach
> wachsendem Vermögen geordnet, auf der y-Achse (für den
> jeweiligen Bevölkerungsanteil) der zugehörige Anteil am
> gesamten Vermögen aufgetragen.
>
>
> a) Bestimmen Sie für eine Verteilung, bei der die ärmeren
> 40 % der Bevölkerung 10 % des
> Gesamtvermögens besitzen, den Term der LORENZ-Funktion als
> Potenzfunktion
> vom Typ f(x) = [mm]x^k[/mm] .
> Ermitteln Sie den Vermögensanteil der reichsten 20 % der
> Bevölkerung bei dieser
> Verteilung.
>
> b) Begründen Sie folgende Eigenschaften aller
> LORENZ-Funktionen f aus dem
> Sachzusammenhang:
> A: Der Definitionsbereich ist [0 ; 1] und es gilt f(0) = 0
> und f(1) = 1.
> B: Sie haben im Inneren des Intervalls [0;1] keine
> negativen Funktionswerte.
> C: Sie sind im Inneren des Intervalls [0;1] monoton
> wachsend und linksgekrümmt.
> c) Weisen Sie nach, dass die Exponentialfunktion b(x) = 2
> • 1,5x – 2 eine Funktion mit
> diesen Eigenschaften ist.
Die Schreibweise der Funktion ist unlesbar. Meintest Du:
$b(x)=2 [mm] \cdot 1,5^{x}-2$ [/mm] ????
Es soll ja angeblich eine Exponentialfunktion sein ...
> d) Beschreiben Sie die LORENZ-Kurve für eine
> gleichmäßige Vermögensverteilung. "
>
>
>
> bei der a) Hab ich einfach durch den gegebenen Punkt P (0,4
> / 0,1) k ermittelt. k=2,513 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zweite Aufgabe ist soweit auch klar, da muss ich doch
> in meine ausgerechnete Funktion, den x wert (0,8) einsetzen
> und erhalte dann einen Prozentsatz von 57%. Stimmt das
> soweit?
Ja.
>
> zur b) A- da hängt es schon ein wenig- kann man durch
> Einsetzen der Definitonsbereiche sagen, dass egal welchen
> Wert k annimmt, der y derselbe ist. Da [mm]0^k[/mm] immer null ist
> und [mm]1^k[/mm] immer eins. Ist das ausreichend, um die eigenschaft
> zu begründen?
Nicht ganz.
1. Die Bezugsmenge (eine ganze Bevölkerung) ist begrenzt, weswegen $0 [mm] \leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] 1$ gilt.
2. Du musst noch zeigen, dass $k>0$ gelten muss. (Das ist wichtig für die Beantwortung der nächsten Fragen!)
>
> B-Da das Intervall für den x- Wert zwischen 0 und 1
> gewählt ist, kann die Funktion nicht negativ werden, egal
> ob k negativ oder positv ist. Kann man so dagen?
Oder: Eine Potenz mit positiver Basis ist nie negativ.
>
> C-diese behauptung ist doch durch die erste ableitung zu
> begründen. die ableitung ist positv und so ist dann auch
> die Steigung. Aber wie erklärt man die Linkskrümmung?
Zweite Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung: [mm] $f''(x)>0\implies \text{Rechtskrümmung}$ [/mm] und [mm] $f''(x)<0\implies \text{Linkskrümmung}$
[/mm]
>
> c) würde ich ebenso begründen, wie ich eben versucht
> habe, die Potenzfunktion zu argumetieren, nur das die basis
> nun gegeben ist und x exponent ist.
Siehe meine Bemerkung oben im Aufgabentext.
>
> d)Ich habe mir da die lineare Funktion y=x vorgestellt. Die
> steigung ist konstant-> aufgrund der regelmäßigkeit
>
>
> Ist ein wenig verwirrend, wie ich das hier strukturiert
> habe.
> Danke schon mal an die, die sich das hier durchgelesen
> haben :D
> Julia
Frohes Schaffen
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Salve
Pappus
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