Lostrommel, Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | In einer Lostrommel befinden sich [mm]N\ge 2[/mm] Lose mit den Nummern 1,2,3,...,N; wobei N unbekannt ist. Der kleine Fritz will wissen, wie viele Lose sich in der Trommel befinden. Er entnimmt dazu in einem unbeobachteten Augenblick jeweils ein Los, merkt sich die Nummer und legt das Los wieder zurück. Das macht er n Mal. Studiere den Schätzer [mm] max(X_{1},...,X_{n}). [/mm] Ist der Schätzer erwartungstreu, konsistent? |
Hallo,
ich habe mich jetzt zunächst mal gefragt, was die Wahrscheinlichkeit dafür ist, ein best. Los zu ziehen. Das ist doch sicherlich für n mal Ziehen (da es auf die Reihenfolge nicht ankommt) [mm] \bruch{1}{\vektor{N+n-1 \\ n}}. [/mm] Nun meine Frage, wie zeige ich die Erwartungstreue und die Konsistenz dieses Schätzers? Ich brauche dafür ja den Erwartungswert. Mir ist nur nicht klar, was [mm] E(max(X_{1},...,X_{n})) [/mm] sein muss, damit das erwartungstreu ist. Kann ich zum Berechnen diese Formel anwenden: [mm] E(max(X_{1},...,X_{n}))=\integral_{0}^{N}{1- \bruch{1}{\vektor{N+n-1 \\ n}} dx}, [/mm] wenn die Zufallsvariablen Wert größer gleich null annehmen (Satz aus der VL).
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 So 14.01.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> ich habe mich jetzt zunächst mal gefragt, was die
> Wahrscheinlichkeit dafür ist, ein best. Los zu ziehen. Das
> ist doch sicherlich für n mal Ziehen (da es auf die
> Reihenfolge nicht ankommt) [mm]\bruch{1}{\vektor{N+n-1 \\ n}}.[/mm]
Moin Daniel,
ich meine, die W. dafuer, ein Los zu ziehen, ist $1/N$
(Gleichmoeglichkeitsmodell). Bedenke, dass das Los immer wieder in die
Trommel zurueckgelegt wird.
> Nun meine Frage, wie zeige ich die Erwartungstreue und die
> Konsistenz dieses Schätzers? Ich brauche dafür ja den
> Erwartungswert. Mir ist nur nicht klar, was
> [mm]E(max(X_{1},...,X_{n}))[/mm] sein muss, damit das erwartungstreu
> ist.
Schauen wir uns einmal die Verteilungsfunktion von
[mm] $Y=\max\{X_1,...,X_n\}$ [/mm] an, d.h., die Bestimmung von [mm] $P(Y\le [/mm] y)$,
$y=1,...,N$. Damit [mm] $(Y\le [/mm] y)$ eintritt, muessen *alle* gezogenen
Losnummern [mm] $\le [/mm] y$ sein, d.h., es muss [mm] $(X_1\le y,...,X_n\le [/mm] y)$
eintreten. Die W. fuer dieses Ereignis ist wegen der Unabhaengigkeit
[mm] $P(X_1\le y,...,X_n\le y)=P(X_1\le y)\times...,\times P(X_n\le y)=(\frac{y}{N})^n$.
[/mm]
Damit ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $Y$ gegeben durch [mm] $P(Y=1)=(1/N)^2$ [/mm] und
[mm] $P(Y=y)=(y/N)^n-((y-1)/N)^n$
[/mm]
fuer Werte $y=2,...,N$. Damit $Y$ erwartungstreu ist, muss gelten
[mm] $N=\mbox{E}[Y]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^Ny((y/N)^n-((y-1)/N)^n)$.
[/mm]
Leider uebersehe ich hier nicht, inwieweit man aus der rechten Seite
einen expliziten Ausdruck machen kann. Auf alle Faelle wird gelten
[mm] $\mbox{E}[Y]
nicht erwartungstreu.
Schaut man sich die Summe genauer an, so sieht man, dass $Y$ asymptotisch
erwartungstreu ist, [mm] $\lim_{n\to\infty}\mbox{E}[Y]=N$. [/mm] Ferner gilt
[mm] $\mbox{E}[Y^2]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^Ny^2((y/N)^n-((y-1)/N)^n)\to N^2$
[/mm]
fuer [mm] $n\to\infty$. [/mm] Damit konvergiert [mm] $\mbox{Var}[Y]=\mbox{E}[Y^2]-\mbox{E}^2[Y]$ [/mm] gegen Null, und folglich ist $Y$ konsistent.
hth
PS:
> Kann ich zum Berechnen diese Formel anwenden:
> [mm]E(max(X_{1},...,X_{n}))=\integral_{0}^{N}{1- \bruch{1}{\vektor{N+n-1 \\ n}} dx},[/mm]
> wenn die Zufallsvariablen Wert größer gleich null annehmen
> (Satz aus der VL).
Der von dir zitierte Satz ist mir nicht gelaeufig. Hast du naehere Infos? Wenngleich ich sagen muss, dass mir die Formel etwas komisch vorkommt, da kein $x$ im Integrand erscheint. Das waere dann eine Konstante...
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
danke zunächst mal für deine Ausführungen. Mir ist nicht ganz klar, woran du siehst, dass wir uns im diskreten Fall befinden. Warum können wir denn die Veteilungsfunktion
$ [mm] P(X_1\le y,...,X_n\le y)=P(X_1\le y)\times...,\times P(X_n\le y)=(\frac{y}{N})^n [/mm] $
nicht einfach gemäß Formel für den Erwartungswert integrieren? Integrale ließen sich doch in dem Fall leichter auswerten oder? Aigner hat das in der VL eben mit dieser von mir genannten Formel gemacht. Ich nenne dir mal den Satz in voller Länge:
Sei [mm] X:\Omega\to\IR [/mm] stetig, f(x)=0 für x<0. Dann ist [mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{(1-F(x)) dx}. [/mm]
Die Grenzen wären ja dann 2 bis N. N war nämlich als [mm]N\ge 2[/mm] vorgegeben. Hoffe, ich hab das nicht in der Aufgabe vergessen. Somit könnten wir den ersten Summenden hier $ [mm] N=\mbox{E}[Y]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^Ny((y/N)^n-((y-1)/N)^n) [/mm] $ wohl vergessen oder?
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 14.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
> danke zunächst mal für deine Ausführungen. Mir ist nicht
> ganz klar, woran du siehst, dass wir uns im diskreten Fall
> befinden. Warum können wir denn die Veteilungsfunktion
> [mm]P(X_1\le y,...,X_n\le y)=P(X_1\le y)\times...,\times P(X_n\le y)=(\frac{y}{N})^n[/mm]
>
Die Wahrscheinlichkeit, dass Fritz eines der Lose $1,...,N$ zieht, ist $1/N$. Sei $X$ die Zufallsvariable "gezogenes Los". Da $X$ nur die Werte $1,...,N$ annimmt, ist $X$ diskret verteilt mit Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X=x)=1/N$ fuer $x=1,...,N$ und 0 sonst.
Damit sind auch alle Zufallsvariablen [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] diskret verteilt und deswegen auch $Y$.
> nicht einfach gemäß Formel für den Erwartungswert
> integrieren? Integrale ließen sich doch in dem Fall
> leichter auswerten oder? Aigner hat das in der VL eben mit
> dieser von mir genannten Formel gemacht. Ich nenne dir mal
> den Satz in voller Länge:
>
> Sei [mm]X:\Omega\to\IR[/mm] stetig, f(x)=0 für x<0. Dann ist
> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{(1-F(x)) dx}.[/mm]
Ah, *den* Satz kenne ich auch. Der laesst sich aber hier nicht anwenden, da ja $X$ und damit $Y$ diskret verteilt ist.
Aber du hast mich auf eine gute Idee gebracht. Ein diskretes Analogon zu dieser Formel ist [mm] $\mbox{E}[Y]=\sum_{y=0}^{N-1}(1-G(y))$, [/mm] wobei $G$ die Verteilungsfunktion von $Y$ ist. Damit erhalte ich die wesentlich "huebschere" Darstellung [mm] $\mbox{E}[Y]=N-\frac{1}{N^n}\sum_{y=0}^{N-1}y^n$, [/mm] was die Ueberlegungen in meiner ersten Antwort bestaetigt.
Eine prima Aufgabe!
hth
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
wenn ich den Erwartungswert nun aber nach dieser Formel berechne, wie berechne ich dann die Varianz bzw. [mm] E(X^{2}) [/mm] ? Oder du erklärst mir wie du hier $ [mm] \mbox{E}[Y^2]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^Ny^2((y/N)^n-((y-1)/N)^n)\to N^2 [/mm] $ auf [mm] N^{2} [/mm] als Grenzwert kommst? Vielleicht könntest du mir die Berechnung der Varianz nochmals erläutern.
Das wäre super.
Vielen Dank Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 14.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Oder du erklärst mir wie du hier
> [mm]\mbox{E}[Y^2]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^Ny^2((y/N)^n-((y-1)/N)^n)\to N^2[/mm]
> auf [mm]N^{2}[/mm] als Grenzwert kommst?
Hallo Daniel,
ich unterstelle, du kennst die Formel [mm] $\mbox{Var}[Y]=\mbox{E}[Y^2]-\mbox{E}[Y]^2$. [/mm] Es gilt also
[mm] $\mbox{E}[Y]^2\to N^2$. [/mm] Bleibt zu untersuchen, wohin [mm] $\mbox{E}[Y^2]$ [/mm] konvergiert.
Es ist [mm] $\mbox{E}[Y^2]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^{N-1}y^2((y/N)^n-((y-1)/N)^n) +N^2-((N-1)/N)^n$. [/mm] Alle Summanden ausser [mm] $N^2$ [/mm] konvergieren gegen Null. Da die Anzahl der Summanden unabhaengig ist von $n$, folgt die Behauptung.
hth
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
super, jetzt hab ich's verstanden. Haste Recht, ist eine sehr nette Aufgabe. Jetzt wird die Stochastik endlich mal ein bisschen nützlich. Die W-Theorie, na ja so richtig konnte man damit nichts anfangen. Mit der Statistik bekommt das langsam einen Sinn. Danke!!! 
Daniel
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
> >
> > ich habe mich jetzt zunächst mal gefragt, was die
> > Wahrscheinlichkeit dafür ist, ein best. Los zu ziehen. Das
> > ist doch sicherlich für n mal Ziehen (da es auf die
> > Reihenfolge nicht ankommt) [mm]\bruch{1}{\vektor{N+n-1 \\ n}}.[/mm]
>
>
> Moin Daniel,
>
> ich meine, die W. dafuer, ein Los zu ziehen, ist [mm]1/N[/mm]
> (Gleichmoeglichkeitsmodell). Bedenke, dass das Los immer
> wieder in die
> Trommel zurueckgelegt wird.
>
>
>
>
> > Nun meine Frage, wie zeige ich die Erwartungstreue und die
> > Konsistenz dieses Schätzers? Ich brauche dafür ja den
> > Erwartungswert. Mir ist nur nicht klar, was
> > [mm]E(max(X_{1},...,X_{n}))[/mm] sein muss, damit das erwartungstreu
> > ist.
>
>
> Schauen wir uns einmal die Verteilungsfunktion von
> [mm]Y=\max\{X_1,...,X_n\}[/mm] an, d.h., die Bestimmung von [mm]P(Y\le y)[/mm],
bei einer anderen Aufgabe habe ich einen Schätzer, bei dem es um ein Minimum geht, also [mm] min(X_{1},...,X_{i}). [/mm] Die Zufallsvariablen sind in der Aufgabe stetig. Außerdem liegt Gleichverteilung. Suche ich dann beim Minimum [mm]P(Y\ge y)[/mm] ??
>
> [mm]y=1,...,N[/mm]. Damit [mm](Y\le y)[/mm] eintritt, muessen *alle*
> gezogenen
> Losnummern [mm]\le y[/mm] sein, d.h., es muss [mm](X_1\le y,...,X_n\le y)[/mm]
>
> eintreten. Die W. fuer dieses Ereignis ist wegen der
> Unabhaengigkeit
>
> [mm]P(X_1\le y,...,X_n\le y)=P(X_1\le y)\times...,\times P(X_n\le y)=(\frac{y}{N})^n[/mm].
Wie ist dann diese Wahrscheinlichkeitsfunktion? 1-[mm]P(Y\le y)[/mm]??
>
> Damit ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion von [mm]Y[/mm] gegeben
> durch [mm]P(Y=1)=(1/N)^2[/mm] und
>
> [mm]P(Y=y)=(y/N)^n-((y-1)/N)^n[/mm]
>
> fuer Werte [mm]y=2,...,N[/mm]. Damit [mm]Y[/mm] erwartungstreu ist, muss
> gelten
>
> [mm]N=\mbox{E}[Y]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^Ny((y/N)^n-((y-1)/N)^n)[/mm].
>
> Leider uebersehe ich hier nicht, inwieweit man aus der
> rechten Seite
> einen expliziten Ausdruck machen kann. Auf alle Faelle
> wird gelten
> [mm]\mbox{E}[Y]
> Damit ist er
> nicht erwartungstreu.
>
> Schaut man sich die Summe genauer an, so sieht man, dass [mm]Y[/mm]
> asymptotisch
> erwartungstreu ist, [mm]\lim_{n\to\infty}\mbox{E}[Y]=N[/mm]. Ferner
> gilt
>
>
> [mm]\mbox{E}[Y^2]=(1/N)^n+\sum_{y=2}^Ny^2((y/N)^n-((y-1)/N)^n)\to N^2[/mm]
>
> fuer [mm]n\to\infty[/mm]. Damit konvergiert
> [mm]\mbox{Var}[Y]=\mbox{E}[Y^2]-\mbox{E}^2[Y][/mm] gegen Null, und
> folglich ist [mm]Y[/mm] konsistent.
>
> hth
>
>
> PS:
> > Kann ich zum Berechnen diese Formel anwenden:
> > [mm]E(max(X_{1},...,X_{n}))=\integral_{0}^{N}{1- \bruch{1}{\vektor{N+n-1 \\ n}} dx},[/mm]
> > wenn die Zufallsvariablen Wert größer gleich null annehmen
> > (Satz aus der VL).
>
> Der von dir zitierte Satz ist mir nicht gelaeufig. Hast du
> naehere Infos? Wenngleich ich sagen muss, dass mir die
> Formel etwas komisch vorkommt, da kein [mm]x[/mm] im Integrand
> erscheint. Das waere dann eine Konstante...
>
>
Bitte um Hilfe.
Grüße, Daniel
|
|
|
|
