Lotfußpunkt und Kugelgleichung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
ich habe diese frage in keinem aneren forum gestellt
Hey leute, bin mal wieder bei ner aufgabe hängen geblieben:
in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
[mm] P_1 [/mm] (10/-6/-3), [mm] P_2 [/mm] (6/2/0) und [mm] P_3 [/mm] (12/0/0) sowie die Ebene E: [mm] \vec [/mm] x * [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 3} [/mm] = 24 gegeben.
a) Von [mm] P_1 [/mm] wir das Lot auf die Ebene E gefällt. Bestimmen Sie den Abstand von [mm] P_1 [/mm] von E sowie die koordinaten des lotfußpunktes F.
b)eine gerade g verläuft durch [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2. [/mm] Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen E und g.
c) Ermitteln sie eine kugelgleichung einer kugel k, die [mm] P_1 [/mm] als Mittelpunkt hat und die durch [mm] P_2 [/mm] geht.
d) K schneidet aus der geraden h, die durch [mm] p_2 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] geht, eine strecke aus. bestimmen sie die länge dieser strecke
e)die kugel K besitzt in [mm] P_2 [/mm] eine tangentialebene. geben sie eine gleichung dieser ebene an.
a) ich habe zuerst die lotgerade durch [mm] P_1 [/mm] und E berechnet:
g: [mm] \vecr [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ -6 \\ -3} [/mm] + [mm] \alpha *\vektor{2 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
Als Abstand [mm] P_1 [/mm] von E hab ich 7 raus.
Aber wie bestimme ich die Koordinaten des Lotfußpunktes?
b) g durch [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2:
[/mm]
g: [mm] \vecr [/mm] = [mm] \vektor{10\\ -6 \\ -3} [/mm] + [mm] \alpha *\vektor{6 \\ 2 \\ 0} [/mm]
als schnittwinkel zwischen g und E erhalte ich 32,227°
c) der mittelpunkt ist dann ja [mm] \vektor{10\\ -6 \\ -3}, [/mm] aber wie mach ich das, das die kugelgleichung durch [mm] P_2 [/mm] geht?
da ich das nicht kann, kann ich auch die teilaufgaben d und e nicht rechnen. brauch also eure hilfe.
vielen dank im voraus, lg tina
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> ich habe diese frage in keinem aneren forum gestellt
>
> Hey leute, bin mal wieder bei ner aufgabe hängen
> geblieben:
>
> in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem sind die
> Punkte
> [mm]P_1[/mm] (10/-6/-3), [mm]P_2[/mm] (6/2/0) und [mm]P_3[/mm] (12/0/0) sowie die
> Ebene E: [mm]\vec[/mm] x * [mm]\vektor{2 \\ 6 \\ 3}[/mm] = 24 gegeben.
>
> a) Von [mm]P_1[/mm] wir das Lot auf die Ebene E gefällt. Bestimmen
> Sie den Abstand von [mm]P_1[/mm] von E sowie die koordinaten des
> lotfußpunktes F.
> b)eine gerade g verläuft durch [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2.[/mm] Berechnen Sie
> den Schnittwinkel zwischen E und g.
> c) Ermitteln sie eine kugelgleichung einer kugel k, die
> [mm]P_1[/mm] als Mittelpunkt hat und die durch [mm]P_2[/mm] geht.
> d) K schneidet aus der geraden h, die durch [mm]p_2[/mm] und [mm]P_3[/mm]
> geht, eine strecke aus. bestimmen sie die länge dieser
> strecke
> e)die kugel K besitzt in [mm]P_2[/mm] eine tangentialebene. geben
> sie eine gleichung dieser ebene an.
>
>
> a) ich habe zuerst die lotgerade durch [mm]P_1[/mm] und E
> berechnet:
> g: [mm]\vecr[/mm] = [mm]\vektor{10 \\ -6 \\ -3}[/mm] + [mm]\alpha *\vektor{2 \\ 6 \\ 3}[/mm]
>
> Als Abstand [mm]P_1[/mm] von E hab ich 7 raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie bestimme ich die Koordinaten des Lotfußpunktes?
Schneide hierzu die Gerade g mit der Ebene E, in dem Du die Gerade in die Ebenengleichung einsetzt. Daraus erhältst Du den Parameter [mm]\alpha[/mm]. Einsetzen in die Gerade und Du erhältst den Lotfußpunkt.
>
> b) g durch [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2:[/mm]
>
> g: [mm]\vecr[/mm] = [mm]\vektor{10\\ -6 \\ -3}[/mm] + [mm]\alpha *\vektor{6 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> als schnittwinkel zwischen g und E erhalte ich 32,227°
Das ist nu ganz verkehrt.
Die Gerade g ergibt sich zu:
[mm]g:\;\vec{x}\;=\;P_1\;+\;\alpha\;(P_2\;-\;P_1)[/mm]
Der Richtungsvektor bei Deiner Geraden ist der falsche.
>
> c) der mittelpunkt ist dann ja [mm]\vektor{10\\ -6 \\ -3},[/mm] aber
> wie mach ich das, das die kugelgleichung durch [mm]P_2[/mm] geht?
> da ich das nicht kann, kann ich auch die teilaufgaben d
> und e nicht rechnen. brauch also eure hilfe.
Die allgemeine Kugelgleichung lautet:
[mm](\vec{x}\;-\;\vec{m})^2\;=\;r^2[/mm]
Den Mittelpunkt kennt man ja. Nun soll [mm]P_2[/mm] auf der Kugel liegen, d.h. es muss [mm](P_2\;-\;P_1)^2\;=\;r^2[/mm] gelten.
Und nun viel Erfolg bei den Teilaufgaben d und e.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
bei der aufgabe d weiß ich nicht so wirklich, was gemeint ist. also die geradengleichung durch [mm] P_2 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] lautet ja:
h: [mm] \vec [/mm] r = [mm] p_2 [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] (P_3 [/mm] - [mm] P_2)
[/mm]
= [mm] \vektor{6 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * ( [mm] \vektor{12 \\ 0 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{6 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
= [mm] \vektor{6 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{6 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
Aber wie bestimmte ich jetzt die länge der strecke, die K aus er geraden schneidet?
und bei e weiß ich nicht, wie ich die gleichng der tangentialebene aufstelle..
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> bei der aufgabe d weiß ich nicht so wirklich, was gemeint
> ist. also die geradengleichung durch [mm]P_2[/mm] und [mm]P_3[/mm] lautet
> ja:
>
> h: [mm]\vec[/mm] r = [mm]p_2[/mm] + [mm]\alpha[/mm] * [mm](P_3[/mm] - [mm]P_2)[/mm]
> = [mm]\vektor{6 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha[/mm] * (
> [mm]\vektor{12 \\ 0 \\ 0}[/mm] - [mm]\vektor{6 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{6 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{6 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> Aber wie bestimmte ich jetzt die länge der strecke, die K
> aus er geraden schneidet?
Setze diese Geradengleichung in die Kugelgleichung ein, dann erhältst Du in der Regel 2 Werte für [mm]\alpha[/mm]. Bestimme diese beiden Punkte.
Berechne dann den Abstand der beiden Punkte.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
okay, ist logisch;) danke, aber jetzt habe ich das eingesetzt nd erhalte keinen wert, da ich eine negative zahl unter der wurzel habe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
Da musst Du Dich irgendwo verrechnet haben ... bei mir geht die Rechnung auf.
Wie lautet denn Deine Kugelgleichung sowie die Geradengleichung?
Kontrollergebnis: [mm] $\alpha_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $\alpha_2 [/mm] \ = \ [mm] \blue{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
okay, meine gerade h: [mm] \vec{r}=\vektor{6 \\ 2\\ 0}+\alpha*\vektor{6 \\ -2\\ 0} [/mm] und die kugel: [mm] \left[\vec{r}-\vektor{10 \\ -6\\ -3}\right]^2=89. [/mm]
wenn ich h in k einsetze erhalte ich:
89 + [mm] 114\alpha [/mm] + [mm] 41\alpha^2 [/mm] = 89
-> [mm] \alpha_1 [/mm] = 0
[mm] \alpha_2= [/mm] -2,78 ...aber ich fine den fehler nicht.. lg, tina
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> okay, meine gerade h: [mm]\vec{r}=\vektor{6 \\ 2\\ 0}+\alpha*\vektor{6 \\ -2\\ 0}[/mm]
> und die kugel: [mm]\left[\vec{r}-\vektor{10 \\ -6\\ -3}\right]^2=89.[/mm]
>
> wenn ich h in k einsetze erhalte ich:
> 89 + [mm]114\alpha[/mm] + [mm]41\alpha^2[/mm] = 89
Der Fehler ist beim Ausmultiplizieren des linearen und quadratischen Gliedes passiert.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
meine geradengleichung lautet:
[mm] \vec{r}=\vektor{6 \\ 2\\ 0}+\alpha\cdot{}\vektor{6 \\ -2\\ 0}
[/mm]
meine Kugelgleichung lautet:
[mm] [\vec{r} -\vektor{10 \\ -6\\ -3}]^2=89
[/mm]
dann setze ich ein:
[mm] [[\vektor{6 \\ 2\\ 0}+\alpha\cdot{}\vektor{6 \\ -2\\ 0}] -\vektor{10 \\ -6\\ -3}]^2=89
[/mm]
= [mm] [\vektor{-4 \\ 8\\ 3}+\alpha\*\vektor{-4 \\ 4\\ 3}]^2 [/mm] =89
und dann bekomme ich raus:
89+ 114 [mm] \alpha [/mm] + 41 [mm] \alpha^2^= [/mm] 89
114 [mm] \alpha [/mm] + 41 [mm] \alpha^2^ [/mm] = 0
[mm] \alpha* (41\alpha [/mm] + 114) = 0
[mm] \alpha_1= [/mm] 0
[mm] \alpha_2 [/mm] : [mm] 41\alpha [/mm] + 114 = 0
[mm] \alpha_2 [/mm] = -2,78
ich finde meinen fehler wirklich nicht, hab es schon so oft nachgerechnet....lg, tina
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> und bei e weiß ich nicht, wie ich die gleichng der
> tangentialebene aufstelle..
Zunächst ist [mm]P_2\;-\;\vec{m}[/mm] ein Normalenvektor der Tangentialebene. Ausserdem wissen wir, daß der Punkt [mm]P_2[/mm] auf der Tangentialebene liegt.
Also gilt dann für die Tangentialebene:
[mm](\vec{x}\;-\;P_2) (P_2\;-\vec{m})\;=\;0[/mm]
[mm]\vec{m}[/mm] ist der Mittelpunkt der Kugel.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
okay, dann erhalte ich also:
[mm] \left[\vec{x} - \vektor{6 \\ 2 \\ 0}\right]*\vektor{-4 \\ 8 \\ -3}=0
[/mm]
also: [mm] \vec{x}*\vektor{-4 \\ 8 \\ -3}-\vektor{-24 \\ 16 \\ 0}=0
[/mm]
ist das korrekt? lg
|
|
|
| |
|
also meine tangentialebene lautet nun: [mm] \vec{r}*\vektor{4 \\ -8\\ 3}-8=0
[/mm]
müsste eigentlich stimmen!? lg tina
|
|
|
| |
|
bei aufgabe a) erhalte ich als abstand [mm] P_1 [/mm] von E = 7 un als Lotfußpunkt [mm] \vektor{12 \\ 0\\ 0} [/mm]
bei b) erhalte ich als schnittwinkel 47,902°
bei c) als kugelgleichung [mm] \left[\vec{r}-\vektor{10 \\ -6\\ -3}\right]^2=89
[/mm]
würd gern wissen, ob das stimmt? lg, tina
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> bei aufgabe a) erhalte ich als abstand [mm] P_1 [/mm] von E = 7 un als
> Lotfußpunkt [mm] \vektor{12 \\ 0\\ 0} [/mm]
> bei b) erhalte ich als schnittwinkel 47,902°
> bei c) als kugelgleichung [mm] \left[\vec{r} - \vektor{10 \\ -6\\-3}\right]^2=89
[/mm]
>
> würd gern wissen, ob das stimmt? lg, tina
Das stimmt alles.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> also meine tangentialebene lautet nun: [mm]\vec{r}*\vektor{4 \\ -8\\ 3}-8=0[/mm]
da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
okay, stimmt, es muss heißen: $ [mm] \vec{r}\cdot{}\vektor{4 \\ -8\\ -3}-8=0 [/mm] $ oder? LG
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> okay, stimmt, es muss heißen: [mm]\vec{r}\cdot{}\vektor{4 \\ -8\\ -3}-8=0[/mm]
> oder? LG
Ja.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
, die roten Komponenten des Vektors stimmen nicht.
)
