Lottozahlen in monotoner Folge < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 25.01.2006 | | Autor: | bert2 |
| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto "6 aus 49" die 6 gezogenen Zahlen in monontoner Folge gezogen werden? |
Hallo!
Ich hoffe, ihr könnt mir bei obiger Aufgabe weiterhelfen:
Anscheinend kommt es bei dieser Aufgabe auch auf die zur Verfügung stehende Auswahlmenge an oder? Denn ansonsten wäre die Wahrscheinlichkeit immer [mm] $\bruch{2}{6}$ [/mm] , weil auf- und absteigende Folge günstig sind?
Vielen Dank schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Fugre |
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto "6 aus
> 49" die 6 gezogenen Zahlen in monontoner Folge gezogen
> werden?
> Hallo!
> Ich hoffe, ihr könnt mir bei obiger Aufgabe weiterhelfen:
>
> Anscheinend kommt es bei dieser Aufgabe auch auf die zur
> Verfügung stehende Auswahlmenge an oder? Denn ansonsten
> wäre die Wahrscheinlichkeit immer [mm]\bruch{2}{6}[/mm] , weil auf-
> und absteigende Folge günstig sind?
>
> Vielen Dank schon mal.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo Bert,
wie du schreibst, musst du 6 aus 49 Kugeln ziehen.
Beim ersten Zug ziehst du in jedem Fall eine "richtige"
Kugel, aber schon da musst du etwas überlegen und
zwei Fälle unterscheiden. Bei den meisten Kugeln kannst
du die Reihe in eine beliebige Richtung entwickeln. Ist die
erste Kugel jedoch sehr groß, kann die Reihe nur nach
unten erweitert werden, gegenteiliges gilt natürlich
für sehr kleine Zahlen.
Die Schwellenwerte sind $5$ und $45$
Du kannst also zwischen 2 Fällen unterscheiden:
(1) Die erste gezogene Zahl ist entweder sehr klein oder
sehr groß; daraus folgt, dass es bei jedem weiteren Zug nur
jeweils eine günstige Zahl gibt.
(2) Die erste gezogene Zahl ist weder sehr groß noch sehr klein;
folglich kann die Reihe in zwei verschiedene Richtungen entwickelt
werden und dies hat zur Folge, dass es 2 günstige zweite Kugeln gibt,
jeder weitere Zug hingegen hat nur eine solche Kugel.
Versuch mal mit diesen Angaben zu arbeiten.
Die Wahrscheinlichkeit sollte sehr gering sein.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Liebe Grüße
Nicolas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 26.01.2006 | | Autor: | bert2 |
Ich hab gestern nochmal rumgetüfftelt und bin auf folgenden Ansatz gekommen:
[mm] \bruch{ \vektor{49\\ 6} \*2}{\vektor{49\\ 6}\*6!}=\bruch{ 49!}{43!\*6!}\*2\* \bruch{43!}{49!} \approx [/mm] 0,00278
Also der Zähler beschreibt alle Möglichkeiten 6 aus 49 auszuwählen(ohne Reihenfolge und Wiederholung) wird verdoppelt, da es ja eine auf- und absteigende Folge gibt. Der Nenner beschreibt alle Möglichkeiten 6 aus 49, jedoch unter Beachtung der Reihenfolge.
Was haltet ihr davon?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 26.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Bert!
Das Ergebnis ist richtig, aber zu umständlich gerechnet/gedacht.
Man zieht $6$ Zahlen. Es gibt $6!$ Möglichkeiten diese in einer bestimmten Reihenfolge zu ziehen. Davon sind zwei günstig, nämlich die beiden monotonen.
Die Wahrscheinlichkeit ist also [mm] $\frac{2}{6!}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Fugre |
> Hallo Bert!
>
> Das Ergebnis ist richtig, aber zu umständlich
> gerechnet/gedacht.
>
> Man zieht [mm]6[/mm] Zahlen. Es gibt [mm]6![/mm] Möglichkeiten diese in einer
> bestimmten Reihenfolge zu ziehen. Davon sind zwei günstig,
> nämlich die beiden monotonen.
>
> Die Wahrscheinlichkeit ist also [mm]\frac{2}{6!}[/mm].
>
> Liebe Grüße
> Stefan
Hallo zusammen,
ich habe leider ein kleines Problem mit eurem Ergebnis, da ich nicht verstehe
wie ihr die Betrachtung des Randbereiches in eine so einfache Formel packen
könnt. Mein Ergebnis unterscheidet sich auch von eurem.
Ich poste euch mal meinen Ansatz:
Ich gehe grundsätzlich davon aus, dass ich zwischen 2 Fällen unterscheiden
muss.
Fall 1:Es kann passieren, dass die erste Kugel sehr groß oder sehr klein ist,
dann kann die Reihe nur in eine Richtung entwickelt werden. Die Wahrschein-
lichkeit, dass die erste Kugel in diesen Randbereich gehört ist [mm] $\frac{10}{49}$.
[/mm]
Für jeden weiteren der 6 Züge erfüllt nur eine Kugel die Bedingung, so beträgt
die Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P_{1}=\frac{10}{49}*\bruch{1}{48*47*46*45*44}=\frac{10*43!}{49!}\approx 9,9*10^{-10}$
[/mm]
Fall 2: Die erste Kugel ist mittelgroß, die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt [mm] $\frac{39}{49}$.
[/mm]
Die "Richtung" der Folge wird also noch offen gehalten und erst durch den zweiten Zug
festgelegt, für den zweiten Zug ist die Wahrscheinlichkeit auf ein günstiges Ereignis folglich [mm] $\frac{2}{48}$.
[/mm]
Die folgenden 4 Züge haben wie im ersten Fall nur eine Möglichkeit die Bedingungen zu erfüllen.
Es gilt für die Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P_2=\frac{39}{49}*\frac{2}{48}*\frac{1}{47*46*45*44}=\frac{39*2*43!}{49!}\approx7,7*10^{-9}$
[/mm]
Die gefragte Wahrscheinlichkeit entspricht der Summe der beiden errechneten und beträgt ca. [mm] $8,69*10^{-9}$
[/mm]
Ich vermute, dass die Differenzen auftreten werden, weil bei mir die Reihe monoton entwickelt wird, die Kugeln
in monotoner Folge gezogen werden, bei euch aber lediglich das Ergebnis eine monotone Reihe ist.
Wäre super, wenn wir die Unterschiede bereden könnten.
Liebe Grüße
Nicolas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nicolas!
Du gehst bei deiner Rechnung davon aus, dass nur Folgen der Art
$a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5$
oder
$a,a-1,a-2,a-3,a-4,a-5$
günstig sind.
Das aber ist meiner Ansicht nach nicht gefordert.
Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in I}$ [/mm] heißt monoton steigend, wenn für $n [mm] \le [/mm] m$ auch [mm] $a_n \le a_m$ [/mm] gilt und monoton fallend, wenn für $n [mm] \le [/mm] m$ stattdessen [mm] $a_n \ge a_m$ [/mm] gilt.
In meinem Sinne wären also (da keine Zahlen doppelt vorkommen können, entfallen die Gleichheitszeichen) alle Folgen [mm] $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$
[/mm]
mit
[mm] $a_1 [/mm] < [mm] a_2 [/mm] < [mm] a_3 [/mm] < [mm] a_4 [/mm] < [mm] a_5 [/mm] < [mm] a_6$
[/mm]
oder
[mm] $a_1 [/mm] > [mm] a_2 [/mm] > [mm] a_3 [/mm] > [mm] a_4 [/mm] > [mm] a_5 [/mm] > [mm] a_6$
[/mm]
günstig.
Ist dir der Unterschied klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Fugre |
Hi Stefan,
vielen Dank für die Erklärung, jetzt ist alles klar und verständlich.
Liebe Grüße
Nicolas
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