Lp-Funk stetig unter Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mo 15.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | | Es sei f [mm] \in L^p(\IR^n) [/mm] Dann gilt: [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \integral_{\IR^n}{|f(x+h)-f(x)|^p dx}=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe mir eine Lösoung überlegt und würde gerne wissen ob die so korrekt ist:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 gibt es eine Funktion g [mm] \in C^{\infty}_c(\IR^n) [/mm] so dass
[mm] ||f-g||<\epsilon. [/mm] Wobei die [mm] L^p [/mm] Norm mit || [mm] \cdot [/mm] || bezeichnet sei. Für g stimmt die Aussage offensichtlich. Weiter definiere ich [mm] g_h(x)=g(x+h) [/mm] bzw. [mm] f_h(x)=f(x+h)
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} ||f_h-f|| [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} ||f-f_h|| [/mm] - [mm] ||g-g_h|| \leq \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ||f-g [mm] +f_h -g_h|| \le \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ||f-g|| [mm] +||f_h -g_h|| [/mm] < 2 [mm] \epsilon
[/mm]
Die erste Gleichung gilt, da die Aussage für g wahr ist und beide Grenzwerte existieren. Die beiden folgenden Ungleichungen folgten mit der Dreiecksungleichungen. Die Abschätzung mit Epsilon gilt nach Wahl von g für ||f-g|| offensichtlich, für die verschobene Funktion allerdings auch, da das Lebesgue-Maß translationsinvariant ist. Die Behauptung folgt jetzt wenn man auf die Terme der Ungleichung die p-te Potenz anwendet.
Stimmt das so oder habe ich einen Fehler gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Mo 15.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
mal eine Antwort nach dem ersten Überfliegen:
> Für g stimmt die Aussage offensichtlich.
So offensichtlich finde ich das nicht…
> Die erste Gleichung gilt, da [...] beide Grenzwerte existieren.
Das ist ja erst zu zeigen, dass der eine Grenzwert existiert und 0 ist… ein klassischer Zirkelschluss also: "Der Grenzwert existiert, weil der Grenzwert existiert."
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mo 15.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
Ich sage doch nur dass der Grenzwert existiert, nicht welchen Wert er annimmt. Die Existenz folgt doch direkt aus der Voraussetzung, dass f eine [mm] L^p-Funktion [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mo 15.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Die Existenz folgt doch direkt aus der Voraussetzung, dass f eine [mm]L^p-Funktion[/mm] ist.
das sehe ich noch nicht… das kannst du dann sicherlich zeigen, wenn es "doch direkt aus der Voraussetzung" folgt.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Di 16.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
Hi,
ok dann begrüne ich das. Die Funktion f liegt in [mm] L^p. [/mm] Die Funktion [mm] f_h [/mm] liegt f"ur alle h auch in [mm] L^p. [/mm] Das sieht man beispielsweise in dem man den Transformationssatz anwendet und die Verschiebung aus dem Argument herausnimmt. Da f und [mm] f_h [/mm] also in [mm] L^p [/mm] liegen und dies ein Vektorraum ist, liegt auch die Differenz in [mm] f-f_h [/mm] in [mm] L^p.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 Mi 17.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> liegt auch die Differenz in [mm]f-f_h[/mm] in [mm]L^p.[/mm]
das habe ich auch nie angezweifelt.
Für jedes $h [mm] \in \IR$ [/mm] ist also $||f - [mm] f_h|| [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] das bedeutet aber nicht, dass [mm] $\lim_{h\to 0} [/mm] ||f - [mm] f_h||$ [/mm] existiert, das hast du aber behauptet und bisher jede Begründung dafür vermissen lassen.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Mi 17.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
Hi,
du hast recht, das habe ich absolut übersehen!
Ok, das würde ich so begründen:
Es gilt folgende Ungleichung für alle h. (Minkowski-Ungleichung)
[mm] \integral_{\IR^n}{|f_h(x)-f(x)|^p dx}^{\bruch{1}{p}}\le \integral_{\IR^n}{|f_h(x)|^p}dx^{\bruch{1}{p}} [/mm] + [mm] \integral_{\IR^n}{|f(x)|}^pdx ^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Nun bildet man den Grenzwert. Der zweite Term der rechten Seite ist endlich. (liegt in [mm] L^p [/mm] unabhängig von h). Beim ersten Integral würde ich das h mit dem Transformationssatz auf den Integrationsbereich "schieben". Dieser ändert sich dabei aber auch nicht. Da die Jakobimatrix dieser Verschiebung die Identität ist, ändert sich auch der Integrand nicht. Damit ist der erste Integrand mit mit dem zweiten identisch, also auch endlich. Bilden der p-ten Potenz liefert schließlich eine Majorante für das ursprüngliche Integral.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Mi 17.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Es gilt folgende Ungleichung für alle h.
> (Minkowski-Ungleichung)
> [mm]\integral_{\IR^n}{|f_h(x)-f(x)|^p dx}^{\bruch{1}{p}}\le \integral_{\IR^n}{|f_h(x)|^p}dx^{\bruch{1}{p}}[/mm]
> + [mm]\integral_{\IR^n}{|f(x)|}^pdx ^{\bruch{1}{p}}[/mm]
> Nun bildet
> man den Grenzwert. Der zweite Term der rechten Seite ist
> endlich. (liegt in [mm]L^p[/mm] unabhängig von h). Beim ersten
> Integral würde ich das h mit dem Transformationssatz auf
> den Integrationsbereich "schieben". Dieser ändert sich
> dabei aber auch nicht. Da die Jakobimatrix dieser
> Verschiebung die Identität ist, ändert sich auch der
> Integrand nicht. Damit ist der erste Integrand mit mit dem
> zweiten identisch, also auch endlich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hast also eine Abschätzung für das Integral gefunden!
> Bilden der p-ten Potenz liefert schließlich eine Majorante für das
> ursprüngliche Integral.
Jein… das liefert dir eine Majorante für das Integral… du brauchst aber eine von h unabhängige integrierbare Majorante für den Integranden.
Es gilt zwar: [mm] $|f_h [/mm] -f| [mm] \le |f_h| [/mm] + |f|$ und [mm] $\int [/mm] |f| = [mm] \int |f_h|$, [/mm] aber damit hast du leider noch immer keine von h unabhängige Integrierbare Majorante für [mm] $|f_h [/mm] - f|$ gefunden.
Ich hab übrigens auch noch keine (saubere) Idee für das Problem, sonst hätte ich dir schon einen Hinweis gegeben…
Gruß,
Gono
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Hiho,
ich gehe jetzt davon aus, dass du verwenden darfst, dass $ [mm] C^{\infty}_c(\IR^n) [/mm] $ dicht in [mm] $L^p$ [/mm] liegt.
Dann funktioniert folgender Beweisansatz (der fast deinem entspricht, aber sauberer ist):
1.) Zeige, dass für jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $g\in C^{\infty}_c(\IR^n)$ [/mm] liegt, so dass [mm] $||f_h [/mm] - f|| [mm] \le 2\varepsilon [/mm] + [mm] ||g_h [/mm] -g||$ gilt.
2.) Zeige: Für [mm] $g\in C^{\infty}_c(\IR^n)$ [/mm] gilt [mm] $\lim_{h\to\infty} ||g_h [/mm] - g|| = 0$ (bitte sauber und ausführlich)
3.) Folgere aus 1.) und 2.), dass [mm] $\lim_{h\to 0} ||f_h [/mm] - f||$ existiert und gleich Null ist.
Die Reihenfolge von 1.) und 2.) kannst du auch gerne tauschen.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mi 17.05.2017 | | Autor: | Kalkutta |
Beweise wie diesen führt man in der Funktionalanalysis unendlich oft. Es lohnt sich, das Konzept einmal zu abstrahieren und in einem Lemma festzuhalten. Dann braucht man den Approximationsschritt nicht jedes mal neu durchzuführen. Es gilt folgendes Resultat:
Ist [mm] $(T_\alpha)_\alpha$ [/mm] eine Folge/Netz von gleichmäßig beschränkten Operatoren zwischen normierten Räumen X,Y, das heißt [mm] $\sup_\alpha \|T_\alpha\|<\infty$, [/mm] und konvergiert [mm] $T_\alpha [/mm] x$ für jedes $x$ aus einem dichten Teilraum von $X$ gegen $Tx$ für einen beschränkten Operator $T$, so konvergiert [mm] $T_\alpha [/mm] x$ gegen $Tx$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
Hier in dem Spezialfall ist [mm] $T_h$ [/mm] die Translation um $h$.
Einer meiner Professoren hat dafür den Namen "strong convergence lemma" vorgeschlagen, weil es um Konvergenz in der starken Operatortopologie geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mi 17.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
Hi,
@Gono
Ich gehe gerne deinen Vorschlag durch, aber wieso funktioniert mein Beweis denn nicht? Ich habe doch begründet wieso [mm] \integral_{\IR^n}{|f_h(x)| dx} [/mm] existiert bzw. völlig unabhängig von h ist, ausführlich:
[mm] \integral_{\IR^n}{|f_h(x)| dx} [/mm] = [mm] \integral_{\IR^n-h}{|f(x)||det(Id)| dx}= \integral_{\IR^n}{|f(x)| dx}
[/mm]
Die Jacobimatrix der Funktion x [mm] \mapsto [/mm] x-h ist gerade die Identität. Das [mm] \IR^n-h [/mm] soll die Translation andeuten. Habe ich hier wieder etwas übersehen?
@Kalkutta
Ich überlege gerade noch wie sich damit (unmittelbar) die Aufgabe lösen lässt, ich schreibe dazu nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mi 17.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich habe doch begründet wieso [mm]\integral_{\IR^n}{|f_h(x)| dx}[/mm] existiert
Ja das hast du und deine Begründung ist auch korrekt.
> Habe ich hier wieder etwas übersehen?
"wieder" ist gut, letztendlich genau dasselbe.
Du hast noch immer nicht begründet, wieso [mm]\integral_{\IR^n}{|f_h(x) - f(x)| dx}[/mm] existiert.
Zwar hast du gezeigt, dass der Ausdruck für jedes [mm] $h\in\IR$ [/mm] beschränkt ist, das bedeutet aber nicht, dass der Grenzwert existiert!
Nimm bspw. [mm] $a_n [/mm] = [mm] (-1)^n$. [/mm] Das ist zwar für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] beschränkt, aber [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n$ [/mm] existiert nicht.
Und genau so ist das auch mit deiner Folge für [mm] $h\to [/mm] 0$. Du hast bisher gezeigt, dass der Ausdruck beschränkt ist, aber eben nicht, dass der Grenzwert existiert…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 17.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
Aber die Funktion [mm] |f|+|f_h| [/mm] ist doch eine Majorante, das bedeutet wir können mithilfe des Satzes von der majorisierten Konvergenz den Limes ins Integral ziehen und sind dann fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 17.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
der Satz von der majorisierten Konvergenz benötigt aber eine Majorante, die unabhängig vom Laufindex der Folge ist.
Deine Majorante hängt doch selbst von h ab, wie soll es dann eine Majorante für alle h sein?
Du benötigst also eine Funktion g, die nicht von h anhängt, die integrierbar ist und für die [mm] $|f_h [/mm] - f| [mm] \le [/mm] g$ gilt.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Do 18.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
Nein tut sie nicht, ich habe ja gezeigt, dass gilt: [mm] |f|+|f_h|=2|f|. [/mm] Das hängt nicht mehr von h ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Do 18.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Nein tut sie nicht, ich habe ja gezeigt, dass gilt:
> [mm]|f|+|f_h|=2|f|.[/mm] Das hängt nicht mehr von h ab.
Du hast gezeigt, dass [mm] $\int [/mm] |f| = [mm] \int |f_h|$ [/mm] bzw analog [mm] $||f_h|| [/mm] = ||f||$ gilt. Das bedeutet aber noch lange nicht, dass [mm] $|f_h| [/mm] = |f|$ ebenfalls gilt. Das ist im übrigen auch falsch.
Also bei zwei Dingen musst du aufpassen: Verwechsle nicht [mm] $||f_h||$ [/mm] mit [mm] $|f_h|$ [/mm] und schlage den Satz von der majorisierten Konvergenz noch mal nach!
Du hast gezeigt:
[mm] $||f_h|| [/mm] = ||f||$ bzw. [mm] $||f_h [/mm] - f|| [mm] \le [/mm] 2||f||$.
Oder ausgeschrieben:
[mm] $\int |f_h(x) [/mm] - f(x)| dx [mm] \le 2\int [/mm] |f(x)| dx$
Ich wiederhole mich gern: Du hast also eine Majorante für das Integral gefunden.
Was du aber benötigst ist eine integrierbare, von h unabhängige, Majorante für den Integranden.
Der Integrand ist [mm] $|f_h(x) [/mm] - f(x)|$.
Für diesen hast du gezeigt, dass gilt: [mm] $|f_h(x) [/mm] - f(x)| [mm] \le |f_h| [/mm] + |f|$.
Natürlich ist [mm] $|f_h| [/mm] + |f|$ eine integrierbare Majorante für [mm] $|f_h(x) [/mm] - f(x)|$, was aber fehlt ist die Unabhängigkeit von h.
Insofern kannst du den Satz von der majorisierten Konvergenz nicht anwenden.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Fr 19.05.2017 | | Autor: | havoc1 |
Ja du hast recht, oh man sorry manchmal hat man ein Brett vorm Kopf. Ich gehe jetzt mal deinen Weg durch:
> ich gehe jetzt davon aus, dass du verwenden darfst, dass
> [mm]C^{\infty}_c(\IR^n)[/mm] dicht in [mm]L^p[/mm] liegt.
Ja.
> 1.) Zeige, dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]g\in C^{\infty}_c(\IR^n)[/mm]
> liegt, so dass [mm]||f_h - f|| \le 2\varepsilon + ||g_h -g||[/mm]
> gilt.
[mm] ||f_h-f|| \le [/mm] ||f-g|| [mm] +||g-g_h|| +||g_h-f_h|| \le [/mm] 2 [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] ||g-g_h||
[/mm]
Dazu nutzt man die Dreiecksungleichung und eben eine hinreichend gute Approximation g und [mm] g_h.
[/mm]
> 2.) Zeige: Für [mm]g\in C^{\infty}_c(\IR^n)[/mm] gilt
> [mm]\lim_{h\to\infty} ||g_h - g|| = 0[/mm]
Es gilt [mm] |g-g_h| \le [/mm] sup 2|g|. Sei nun h eine beliebige Nullfolge. Dann ist sup |h| endlich, was bedeutet dass die maximale Verschiebung [mm] g_h [/mm] von g endlich. Das heißt der Abstand des Trägers [mm] g_h [/mm] von g ist endlich. Das bedeutet, supp [mm] g-g_h \subset [/mm] K mit einer kompakten Menge die unabhängig von h ist.
Das bedeutet
[mm] g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash K \\ 2sup|g|, & \mbox{für } x \in K \end{cases}
[/mm]
Damit haben wir eine Majorante gefunden, und können den Satz v. d. majorisierten Konvergenz anwenden, was die behauptete Aussage liefert. (Ich habe die p-te Potenz hier ignoriert, dies ändert nichts da, auch [mm] g^p \in C^\infty_c
[/mm]
> 3.) Folgere aus 1.) und 2.), dass [mm]\lim_{h\to 0} ||f_h - f||[/mm]
> existiert und gleich Null ist.
Wenn man in der ersten Ungleichung
[mm]||f_h - f|| \le 2\varepsilon + ||g_h -g||[/mm]
zum Grenzwert übergeht bleibt die Ungleichung bekanntermaßen erhalten und [mm] ||g-g_h|| [/mm] konvergiert nach 2) gegen Null.
Damit erhält man [mm]\lim_{h\to 0} ||f_h - f|| \leq 2\epsilon[/mm]
Da Epsilon belieibig war folgt damit die Behauptung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Fr 19.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]||f_h-f|| \le[/mm] ||f-g|| [mm]+||g-g_h|| +||g_h-f_h|| \le[/mm] 2
> [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]||g-g_h||[/mm]
> Dazu nutzt man die Dreiecksungleichung und eben eine
> hinreichend gute Approximation g und [mm]g_h.[/mm]
Mach dir klar, dass $||f - g|| = [mm] ||f_h [/mm] - [mm] f_g||$ [/mm] gilt!
Die Approximation ist also eindeutig durch f und g festgelegt, d.h. du musst dir kein "neues" [mm] g_h [/mm] suchen für [mm] $f_h$. [/mm]
Wird f durch g approximiert, so auch [mm] f_h [/mm] durch [mm] $g_h$.
[/mm]
> Damit haben wir eine Majorante gefunden, und können den
> Satz v. d. majorisierten Konvergenz anwenden, was die
> behauptete Aussage liefert. (Ich habe die p-te Potenz hier
> ignoriert, dies ändert nichts da, auch [mm]g^p \in C^\infty_c[/mm]
> > 3.) Folgere aus 1.) und 2.), dass [mm]\lim_{h\to 0} ||f_h - f||[/mm]
> > existiert und gleich Null ist.
>
> Wenn man in der ersten Ungleichung
> [mm]||f_h - f|| \le 2\varepsilon + ||g_h -g||[/mm]
> zum Grenzwert übergeht bleibt die Ungleichung
> bekanntermaßen erhalten und [mm]||g-g_h||[/mm] konvergiert nach 2)
> gegen Null.
> Damit erhält man [mm]\lim_{h\to 0} ||f_h - f|| \leq 2\epsilon[/mm]
> Da Epsilon belieibig war folgt damit die Behauptung.
Eine kleine Bemerkung fehlt noch: Da die Norm nichtnegativ ist 
Gruß,
Gono
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